О постановке задач. Задачи Коши для ОДУ.
В этой главе рассматриваются численные методы решений задач с начальными условиями (называемых задачами Коши) для обыкновенных дифференциальных уравнений (далее используется сокращение ОДУ). Такие задачи требуют нахождения функции (или нескольких функций) одной переменной, если, во-первых, определено дифференциальное уравнение (или система уравнений), содержащее производную функции, и, во-вторых, необходимое количество дополнительных условий, задающих значение функции в некоторой начальной точке.
Решение задач Коши для ОДУ – давно и детально разработанная технология. С "хорошими" ОДУ вообще никаких вычислительных проблем обычно не возникает (чаще всего они решаются при помощи алгоритма Рунге-Купы), а для ОДУ особого типа, называемых жесткими, необходимо применять специальные методы. Все эти возможности заложены в Mathcad, причем пользователю позволено выбирать конкретный алгоритм решения ОДУ.
Начнем разговор об обыкновенных дифференциальных уравнениях с формулировки типичных задач, сопровождая вопросы их постановки конкретными примерами. При этом мы будем, несколько забегая вперед, приводить их решение, не обсуждая особенностей его отыскания средствами Mathcad.
Задачи Коши для ОДУ
Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными. В противном случае говорят об уравнениях в частных производных (см. главу II). Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение – значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.
ОДУ с неизвестной функцией у (t), в которое входят производные этой функции вплоть до y(N) (t), называется ОДУ N-го порядка. В частности, уравнение первого порядка может по определению содержать помимо самой искомой функции y(t) только ее первую производную у'(t), второго порядка– у' (t) и у'' (t) и т. д. В подавляющем большинстве практических случаев дифференциальное уравнение можно записать в стандартной форме (форме Коши): у'(t)=f (у (t),t). Уравнение второго порядка может содержать, помимо самой функции, ее первую и вторую производные и т. д. Листинг 9.1 демонстрирует решение простого ОДУ второго порядка, описывающего модель затухающего гармонического осциллятора. Само уравнение приведено во второй строке листинга, после задания параметров модели, а вычисленный результат, т. е. искомая функция у (t), показан на рис. 9.1.
Примечание
Модель гармонического осциллятора описывает, в частности, колебания маятника: y(t) описывает изменения угла его отклонения от вертикали, у' (t) – угловую скорость маятника, у" (t) – ускорение, а начальные условия, соответственно, начальное отклонение маятника у (0) =1.0 и начальную скорость у' (0)=0. Важно отметить, что модель является линейной, т.е. неизвестная функция (и ее производные) входят в уравнение в первой степени.
Листинг 9.1. Решение задачи Коши для ОДУ второго порядка (модель затухающего гармонического осциллятора):
Как показывает листинг 9.1, помимо самого уравнения потребовалось определить два начальных условия (третья и четвертая строки листинга) – начальные значения y(t) и у' (t) при t=0. Вообще говоря, ОДУ (или система ОДУ) имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. В соответствующих курсах высшей математики доказываются теоремы о существовании и единственности решения в зависимости от тех или иных условий.