-
Мощным инструментом обработки данных, определенных дискретной зависимостью y(xi) или непрерывной функцией f(x) (полученной, например посредством интерполяции или регрессии, как об этом рассказано в главе 13), является спектральный анализ, имеющий в своей основе различные интегральные преобразования.
-
Интегральные преобразования массива сигнала у(х) ставят в соответствие всей совокупности данных у(х) некоторую функцию другой координаты F(v). Рассмотрим встроенные функции для расчета интегральных преобразований, реализованных в Mathcad.
-
Для расчета обратного Фурье-преобразования (восстановления сигнала по имеющемуся действительному спектру) следует использовать следующие встроенные функции (они также реализуют алгоритм БПФ): | ifft (v) – вектор обратного действительного преобразования Фурье;
-
Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера "с": | cfft (у) – вектор прямого комплексного преобразования Фурье; | CFFT(y) – вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
-
При численном нахождении преобразования Фурье следует очень внимательно относиться к таким важнейшим параметрам, как объем выборки (в терминах листинга 14.1, xМАХ) и интервал дискретизации (Δ). Соотношение этих двух величин определяет диапазон частот (Ω0,ΩN), для которых возможно вычисление значений Фурье-спектра.
-
Пока мы использовали в качестве примера детерминированный сигнал, представляющий собой сумму трех синусоид. Несмотря на единство термина "дискретное преобразование Фурье", прикладное применение спектрального анализа можно довольно четко разделить на две категории.
-
В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. | Соответствующий пример приведен в листинге 14.4 и на рис. 14.14 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.
-
В последнее время возрос интерес к другим интегральным преобразованиям, в частности, вейвлет-преобразованию (или дискретному волновому). Оно применяется, главным образом, для анализа нестационарных сигналов и для многих задач подобного рода оказывается более эффективным, чем преобразование Фурье.
-
Mathcad имеет одну встроенную функцию для расчета вейвлет-преобразования на основе вейвлетобразующей функции Добеши: | wave (у) – вектор прямого вейвлет-преобразования; | iwave (v) – вектор обратного вейвлет-преобразования: | у – вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
-
Наряду со встроенной функцией wave Mathcad снабжен пакетом расширения для осуществления вейвлет-анализа. Пакет расширения содержит большое число дополнительных встроенных функций, имеющих отношение к вейвлет-преобразованиям.
-
При анализе данных часто возникает задача их фильтрации, заключающаяся в устранении одной из составляющих зависимости y(xi). Наиболее часто целью фильтрации является подавление быстрых вариаций y(xi), которые чаще всего обусловлены шумом.
-
Помимо встроенных в Mathcad, существует несколько популярных алгоритмов сглаживания, на одном из которых хочется остановиться особо. Самый простой и очень эффективный метод – это скользящее усреднение. Его суть состоит в расчете для каждого значения аргумента среднего значения по соседним w данным.
-
Еще одна типичная задача возникает, когда интерес исследований заключается не в анализе медленных (или низкочастотных) вариаций сигнала у(х) (для чего применяется сглаживание данных), а в анализе быстрых его изменений.
-
В предыдущих разделах была рассмотрена фильтрация быстрых вариаций сигнала (сглаживание) и его медленных вариаций (снятие тренда). Иногда требуется выделить среднемасштабную составляющую сигнала, уменьшив как более быстрые, так и более медленные его компоненты.
-
Альтернативой всем представленным до сих пор алгоритмам, в частности, методу полосовой фильтрации (см. предыдущий разд.) является фильтрация на основе интеграла Фурье. Пока мы использовали для подавления в сигнале тех или иных частотных диапазонов определенные процедуры, основанные на арифметических преобразованиях.
-
Завершим главу, посвященную спектральному анализу, еще одним примером вычисления спектра мощности (его определение приведено в разд. 14.1.5) модельного сигнала, связанного с использованием его Фурье-спектра.