Статистика
Статистические распределения
Mathcad имеет развитый аппарат работы с задачами математической статистики и обработки эксперимента. | Во-первых, имеется большое количество встроенных специальных функций, позволяющих рассчитывать плотности вероятности и другие основные характеристики основных законов распределения случайных величин (см. разд. 12.1).Статистические функции
В Mathcad имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения. Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины х, так и некоторые сопутствующие функции.Пример: нормальное (Гауссово) распределение
В теории вероятности доказано, что сумма различных независимых случайных слагаемых (независимо от их закона распределения) оказывается случайной величиной, распределенной согласно нормальному закону (так называемая центральная предельная теорема).Выборочные статистические характеристики. Гистограммы.
В большинстве статистических расчетов вы имеете дело с выборками: либо со случайными данными, полученными в ходе какого-либо эксперимента (которые выводятся из файла или печатаются непосредственно в документе), либо с результатами генерации случайных чисел, рассмотренными в предыдущих разделах встроенными функциями, моделирующими то или иное явление методом Монте-Карло (см. разд. 12.3).Среднее и дисперсия
В Mathcad имеется ряд встроенных функций для расчетов числовых статистических характеристик рядов случайных данных: | mean(x) – выборочное среднее значение; | median (х) – выборочная медиана (median) – значение аргумента, которое делит гистограмму плотности вероятностей на две равные части;Примеры: Выборочная оценка дисперсии и среднего нормальной случайной величины
Типовые задачи математической статистики связаны с получением тех или иных интервальных и точечных оценок различных параметров случайной выборки. Приведем пример двух задач, иллюстрирующих назначение и принципы применения введенных в предыдущих разделах статистических функций.Корреляция
Функции, устанавливающие связь между парами двух случайных векторов, называются ковариацией и корреляцией (или, по-другому, коэффициентом корреляции). Они различаются нормировкой, как следует из их определения (листинг 12.16): | соrr(х) – коэффициент корреляции двух выборок;Новые функции корреляционного анализа сигналов. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.
В Mathcad 12 появились две функции, связанные с корреляционной обработкой сигналов и изображений: | correl (x,y) – вектор, представляющий значения коэффициента ковариации двух векторов; | correl 2d(A, K) – матрица, равная ковариации матрицы-аргумента и матрицы-окна: | х,у – векторы;Статистические функции матричного аргумента
Все рассмотренные примеры работы статистических функций относились к векторам, элементы которых были случайными числами. Но точно так же все эти функции применяются и по отношению к выборкам случайных данных, сгруппированных в матрицы.Методы Монте-Карло. Генерация псевдослучайных чисел.
Для моделирования различных физических, экономических и прочих эффектов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло, обязанные своим названием европейскому центру азартных игр, основанных на случайных событиях.Генерация коррелированных выборок
До сих пор мы рассматривали наиболее простой случай применения генераторов независимых случайных чисел. В методах Монте-Карло часто требуется создавать случайные числа с определенной корреляцией.Моделирование случайного процесса
Встроенные функции для генерации случайных чисел создают выборку из случайных данных A i. Часто требуется создать непрерывную или дискретную случайную функцию A(t) одной или нескольких переменных (случайный процесс или случайное поле), значения которой будут упорядочены относительно своих переменных. Создать псевдослучайный процесс можно способом, представленным в листинге 12.22. | Листинг 12.22.Пример: огибающая и фаза нормального случайного процесса
Завершим разговор о моделировании случайных процессов примером, часто встречающимся в задачах статистической радиофизики. Рассмотрим модель, представляющую собой сумму гармонической функции и нормально распределенной шумовой компоненты, которая хорошо описывает передачу сигнала в электронных устройствах в условиях помех (листинги 12.24-12.25) и называется узкополосным нормальным процессом.