Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Обыкновенные дифференциальные уравнения: краевые задачи

• О постановке задач

  В этой главе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Средства Mathcad, реализующие алгоритм стрельбы (см. разд. 10.2), позволяют решать краевые задачи для систем ОДУ, в которых часть граничных условий поставлена в начальной точке интервала, а остальная часть – в его конечной точке.

• Решение краевых задач средствами Mathcad. Алгоритм стрельбы.

  Для решения краевых задач в Mathcad реализован наиболее популярный алгоритм, называемый методом стрельбы или пристрелки (shooting method). Он, по сути, сводит решение краевой задачи к решению серии задач Коши с различными начальными условиями.

• Двухточечные краевые задачи

  Решение краевых задач для систем ОДУ методом стрельбы в Mathcad достигается применением двух встроенных функций. Первая предназначена для двухточечных задач с краевыми условиями, заданными на концах интервала:

• Краевые задачи с условием во внутренней точке

  Иногда дифференциальные уравнения определяются с граничными условиями не только на концах интервала, но и с дополнительным условием в некоторой промежуточной точке расчетного интервала. Чаще всего такие задачи содержат данные о негладких в некоторой внутренней точке интервала решениях.

• Задачи на собственные значения для ОДУ

  Задачи на собственные значения – это краевые задачи для системы ОДУ, в которой правые части зависят от одного или нескольких параметров X. Значения этих параметров неизвестны, а решение краевой задачи существует только при определенных λk, которые называются собственными значениями (eigenvalues) задачи. Решения, соответствующие этим λk, называют собственными функциями (eigenflmctions) задачи.

• Разностные схемы для ОДУ. О разностном методе.

  Многие краевые задачи не поддаются решению методом стрельбы. Однако в Mathcad 12 других встроенных алгоритмов нет. Тем не менее это не означает, что по-другому решать краевые задачи невозможно, ведь другие численные алгоритмы несложно запрограммировать самому пользователю.

• Жесткие краевые задачи

  Один из случаев, когда применение разностных схем может быть очень полезным, связан с решением жестких краевых задач (подробнее о жестких ОДУ читайте в главе 11). В частности, рассматриваемая задача о встречных световых пучках становится жесткой при увеличении коэффициента ослабления а(х) в несколько десятков раз.

• Нелинейные краевые задачи. О постановке задачи.

  Все примеры, приведенные пока в этом разделе, связаны с краевыми задачами для линейных ОДУ. Между тем на практике часто приходится исследовать именно нелинейные задачи, которые несравненно сложнее с вычислительной точки зрения.

• Метод стрельбы

  Встроенная функция sbval, реализующая в Mathcad алгоритм стрельбы (см. разд. 10.2), может справляться и с нелинейными задачами. | Приведем пример решения краевой задачи (10.9) (листинг 10.8 и рис. 10.11) с теми же граничными условиями, что были поставлены для модели (10.1).

• Разностные схемы

  Решение краевых задач при помощи разностных схем связано с необходимостью разработки собственного алгоритма для каждой конкретной задачи. Как вы помните (см. разд. 10.4), в случае линейных уравнений в результате построения разностной схемы система алгебраических сеточных уравнений также получалась линейной.