Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Задачи на собственные значения для ОДУ

Задачи на собственные значения – это краевые задачи для системы ОДУ, в которой правые части зависят от одного или нескольких параметров X. Значения этих параметров неизвестны, а решение краевой задачи существует только при определенных λ_k, которые называются собственными значениями (eigenvalues) задачи. Решения, соответствующие этим λ_k, называют собственными функциями (eigenflmctions) задачи. Правильная постановка таких задач требует формулировки количества граничных условий, равного сумме числа уравнений и числа собственных значений. Физическими примерами задач на собственные значения являются, например, уравнение колебаний струны, уравнение Шредингера в квантовой механике, уравнения волн в резонаторах и многие другие.

С вычислительной точки зрения, задачи на собственные значения очень похожи на рассмотренные выше краевые задачи. В частности, для многих из них также применим метод стрельбы (см. разд. 10.1.2). Отличие заключается в пристрелке не только по недостающим левым граничным условиям, но еще и по искомым собственным значениям. В Mathcad для решения задач на собственные значения используются те же функции sbval и bvaifit. В их первый аргумент, т. е. вектор, присваивающий начальные значения недостающим начальным условиям, следует включить и начальное приближение для собственного значения.

Рассмотрим методику решения на конкретном примере определения собственных упругих колебаний струны. Профиль колебаний струны у(х) описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

Где р(х) и q(x) – жесткость и плотность, которые, вообще говоря, могут меняться вдоль струны. Если струна закреплена на обоих концах, то граничные условия задаются в виде у(0)=у(1)=0. Сформулированная задача является частным случаем задачи Штурма-Лиувилля. Поскольку решается система двух ОДУ, содержащая одно собственное значение x, то по идее задача требует задания трех (2+1) условий. Однако, как легко убедиться, уравнение колебаний струны – линейное и однородное, поэтому в любом случае решение у(х) будет определено с точностью до множителя. Это означает, что производную решения можно задать произвольно, например, у' (0)=1, что и будет третьим условием. Тогда краевую задачу можно решать как задачу Коши, а пристрелку вести только по одному параметру – собственному значению.

Процедура поиска первого собственного значения представлена в листинге 10.5.

Листинг 10.5. Решение задачи о собственных колебаниях струны:

В первых двух строках листинга определяются функции, входящие в задачу, в том числе р' (х): = 0, и границы расчетного интервала (0.1). В третьей строке дается начальное приближение к собственному значению λ₀, в четвертой вводится система ОДУ. Обратите внимание, что она состоит не из двух, а из трех уравнений. Первые два из них определяют эквивалентную (10.3) систему ОДУ первого порядка, а третье необходимо для задания собственного значения в виде еще одного компонента у₂ искомого вектора у. Поскольку по определению собственное значение постоянно при всех х, то его производная должна быть приравнена нулю, что отражено в последнем уравнении. Важно также, что во втором из уравнений собственное значение записано как у₂, поскольку является одним из неизвестных.

В следующих двух строках листинга задается левое граничное условие, включающее и недостающее условие на собственное значение для третьего уравнения, и правое граничное условие у₀=0. В предпоследней строке листинга обычным образом применяется функция sbval, а в последней выводится результат ее работы вместе с известным аналитически собственным значением. Как легко убедиться, мы нашли первое собственное значение для n=1, а чтобы найти другие собственные значения, необходимо задать другие начальные приближения к ним (в третьей строке листинга 10.5). Например, выбор λ₀=50 приводит ко второму собственному значению 2² π², а λ₀=100 – к третьему 3² π2.

Чтобы построить график соответствующей собственной функции, надо добавить в листинг строку, программирующую решение задачи Коши, например, такую: u: = rkfixed(load(a,A),а,b, 100,D). Полученные кривые показаны на рис. 10.6 в виде коллажа трех графиков, рассчитанных для трех собственных значений.

Примечание
Примеры решения нескольких задач на собственные значения можно найти в различных Ресурсах Mathcad.

Рис. 10.6. Первые три собственные функции задачи колебаний струны (коллаж трех графиков, рассчитанных листингом 10.5 для разных λ0)