Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Краевые задачи с условием во внутренней точке

Иногда дифференциальные уравнения определяются с граничными условиями не только на концах интервала, но и с дополнительным условием в некоторой промежуточной точке расчетного интервала. Чаще всего такие задачи содержат данные о негладких в некоторой внутренней точке интервала решениях. Для них имеется встроенная функция bvaifit, также реализующая алгоритм стрельбы.

• bvaifit(z1,z2,x0,x1,xf,D,load1,load2,score) – поиск вектора недостающих граничных условий для краевой задачи с дополнительным условием в промежуточной точке для системы N ОДУ:
  • z1 – вектор, присваивающий недостающим начальным условиям на левой границе интервала начальные значения.
  • z2 – вектор того же размера, присваивающий недостающим начальным условиям на правой границе интервала начальные значения.
  • х0 – левая граница расчетного интервала.
  • x1 – правая граница расчетного интервала.
  • xf – точка внутри интервала.
  • Dо(х,у) – векторная функция, описывающая систему N ОДУ размера Nx1 и двух аргументов – скалярного х и векторного у. При этом у – это неизвестная векторная функция аргумента х того же размера Nx1.
  • load1(x0,z) – векторная функция размера Nx1 левых граничных условий, причем недостающие начальные условия поименовываются соответствующими компонентами векторного аргумента z.
  • load2(x1,z) – векторная функция размера Nx1 левых граничных условий, причем недостающие начальные условия поименовываются соответствующими компонентами векторного аргумента z.
  • score (xf, у) – векторная функция размера Nx1, выражающая внутреннее условие для векторной функции у в точке xf.

Обычно функция bvaifit применяется для задач, в которых производная решения имеет разрыв во внутренней точке xf. Некоторые из таких задач не удается решить обычным методом пристрелки, поэтому приходится вести пристрелку сразу из обеих граничных точек. В этом случае дополнительное внутреннее условие в точке xf является просто условием сшивки в ней левого и правого решений. Поэтому для данной постановки задачи оно записывается В форме score (xf, у): = у.

Рассмотрим действие функции bvaifit на знакомом примере модели взаимодействия пучков света (см. рис. 10.1), предположив, что в промежутке между xf=0.5 и x1=1.0 находится другая, оптически более плотная среда с другим коэффициентом ослабления излучения а(х)=3. Соответствующая краевая задача решена в листинге 10.3, причем разрывный показатель ослабления определяется в его второй строке.

Листинг 10.3. Краевая задача с граничным условием в промежуточной точке:

Система уравнений и левое краевое условие вводится так же, как и в предыдущем листинге для функции sbval. Обратите внимание, что таким же образом записано и правое краевое условие. Для того чтобы ввести условие отражения на правой границе, пришлось определить еще один неизвестный пристрелочный параметр z2₀. Строка листинга, в которой определена функция score, задает условие стрельбы – сшивку двух решений в точке xf. В самой последней строке листинга выдан ответ – определенные численным методом значения обоих пристрелочных параметров, которые объединены в вектор а (мы применили в предпоследней строке операцию транспонирования, чтобы результат получился в форме вектора, а не матрицы-строки).