-
Задачи линейной алгебры, решаемые в Mathcad, можно условно разделить на два класса. | Первый – это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов (см. разд.
-
В Mathcad можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются стандартные символы "+" или "– " соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке.
-
При умножении следует помнить, что матрицу размерности M x N допустимо умножать только на матрицу размерности N x P (р может быть любым). В результате получается матрица размерности M х P. | Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой * или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение).
-
Векторы являются частным случаем матриц размерности NXI, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены. Вместе с тем для векторов в линейной алгебре предусмотрен целый ряд специфических операций, и все они реализованы в системе Mathcad. | Внимание!
-
Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность.
-
Векторная алгебра Mathcad включает несколько необычный оператор, который называется оператором векторизации (vectorize operator). Этот оператор предназначен, как правило, для работы с массивами. Он позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива (т. е.
-
Рассмотрим еще несколько исключительно важных действий линейной алгебры, связанных с понятием определителя матрицы. Несмотря на то, что некоторые из них реализованы в Mathcad также в виде операторов, они требуют (при проведении расчетов по численным алгоритмам) несравненно больше внимания, нежели операторы упомянутые в двух предыдущих разделах.
-
Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число к, для которого существует не равный нулю определитель k-ro порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы. | Для вычисления ранга в Mathcad предназначена функция rank (листинг 7.15).
-
К квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень n. Для этого n должно быть целым числом. Результат данной операции приведен в табл. 7.1. Ввести оператор возведения матрицы м в степень n можно точно так же, как и для скалярной величины: нажав кнопку Raise to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или нажав клавишу А.
-
В линейной алгебре используются различные векторные и матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов.
-
Еще одной важной характеристикой матрицы является ее число обусловленности (condition number). Число обусловленности является мерой чувствительности системы линейных уравнений А-Х=B, определяемой матрицей А, к погрешностям задания вектора b правых частей уравнений (см. главу 8).
-
Перечислим основные встроенные функции, предназначенные для облегчения работы с векторами и матрицами. Они нужны для создания матриц, слияния и выделения части матриц, получения основных свойств матриц и т. п.
-
Из матрицы или вектора можно выделить либо подматрицу, либо вектор-столбец, либо отдельный элемент. И обратно, можно "склеить" несколько матриц в одну. | Выделение подматрицы | Часть матрицы выделяется одним из следующих способов (листинг 7.22):
-
Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:
-
Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции (листинги 7.28 и 7.29 соответственно): | rows (A) – число строк; | cols (А) – число столбцов; | length (v) – число элементов вектора; | last (v) – индекс последнего элемента вектора: