Число обусловленности квадратной матрицы
Еще одной важной характеристикой матрицы является ее число обусловленности (condition number). Число обусловленности является мерой чувствительности системы линейных уравнений А-Х=B, определяемой матрицей А, к погрешностям задания вектора b правых частей уравнений (см. главу 8). Чем больше число обусловленности, тем сильнее это воздействие и тем более неустойчив процесс нахождения решения линейной системы. Число обусловленности связано с нормой матрицы и вычисляется по-разному для каждой из норм:
- cond1 (А) – число обусловленности в норме L1;
- cond2 (A) – число обусловленности в норме L2;
- conde (A) – число обусловленности в евклидовой норме;
- condi (A) – число обусловленности в ∞-норме:
- А – квадратная матрица.
Расчет чисел обусловленности для двух матриц А и В показан в листинге 7.19. Обратите внимание, что первая из матриц является хорошо обусловленной, а вторая – плохо обусловленной (два ее последних столбца очень близки между собой, с точностью до множителя 2). Вторая строка листинга дает формальное определение числа обусловленности как произведения норм исходной и обратной матриц. В других нормах определение точно такое же.
Примечание
Как нетрудно понять, матрицы А и в из листинга 7.18 (см. предыдущий разд.) обладают одинаковыми числами обусловленности, т. к. в=100-А, и, следовательно, обе матрицы определяют одну и ту же систему уравнений.
Листинг 7.19. Вычисление чисел обусловленности матриц (в различных нормах):
