-
С одной стороны, численное интегрирование – одна из самых простых, с вычислительной точки зрения, операций, с другой – аналитически проинтегрировать можно далеко не каждую функцию. Всегда помните об этом, когда вы сталкиваетесь с численным или аналитическим интегрированием.
-
Результат численного интегрирования – это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. По умолчанию TOL=0.001.
-
Прежде чем перейти к изложению метода численного интегрирования, реализованного в Mathcad, скажем несколько слов об основных принципах численного интегрирования.
-
После сделанных вводных замечаний приведем основные идеи итерационного алгоритма Ромберга, который применяется в системе Mathcad для выполнения операции численного интегрирования. | Сначала строится несколько интерполирующих полиномов, которые заменяют на интервале интегрирования подынтегральную функцию f (х). В качестве первой итерации полиномы вычисляются по 1, 2 и 4 интервалам.
-
Предыдущий раздел был посвящен проблеме поиска определенного интеграла, т. е. числового значения, равного площади фигуры, образованной графиком подынтегральной функции и.осью х (см. рис. 4.4). Задача нахождения неопределенного интеграла намного сложнее, поскольку связана с поиском функции, производная от которой равна исходной подынтегральной функции.
-
Завершим разговор о приемах интегрирования в среде Mathcad примерами вычислений в некоторых специальных случаях, которые довольно часто встречаются в самых разнообразных областях математики. | Интегралы с бесконечными пределами | Как мы уже говорили (см. примечание 1 в разд.
-
В заключение приведем пример использования вычислительного процессора Mathcad для расчета длины участка кривой, задаваемой некоторой функцией f (x) в промежутке между двумя значениями ее аргумента а и b (рис. 4.8).
-
Обратимся теперь к характерным проблемам вычислительной математики, связанным с (аналитическим или численным) вычислением интегралов определенного вида. Задачи, о которых мы собираемся рассказать, тесно связаны с алгоритмами обработки данных, поэтому содержание этого раздела будет перекликаться с материалом главы 14 (см. разд. 14.1).
-
Аналитический расчет преобразования Фурье при помощи меню показан на рис. 4.9, для чего используется команда меню Symbolics › Transform › Fourier (Символика › Преобразование › Фурье). В листинге 4.12 приведены два примера вычисления прямого преобразования Фурье с применением ключевого слова fourier и оператора символьного вывода ›.
-
В предыдущем разделе рассказывалось о возможностях символьного процессора Mathcad, позволяющего осуществить аналитическое преобразование Фурье функции, заданной формулой.
-
Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в название которых входит литера "с": | cfft(y) – вектор прямого комплексного преобразования Фурье; | CFFT(y) – вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
-
В Mathcad имеется возможность вычислять не только одномерное преобразование Фурье функции f (x), но и двумерное преобразование функции двух переменных f(x,y). Иными словами, допускается применять встроенные функции комплексного дискретного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. | Соответствующий пример приведен в листинге 4.15 и на рис.
-
Рассмотрим в завершение главы, посвященной интегрированию, еще три преобразования, которые часто применяются помимо интеграла Фурье.
-
Z-преобразование функции f (х) определяется не интегралом, а бесконечной суммой следующего вида: | Пример Z-преобразования приведен в листинге 4.17, а его результаты – на рис. 4.14. | Листинг 4.17. Прямое и обратное Z- преобразование: | Рис. 4.14.
-
В последнее время возрос интерес к другим интегральным преобразованиям, в частности, к вейвлет-преобразованию (или дискретному волновому преобразованию). Оно применяется, главным образом, для анализа нестационарных сигналов и для многих задач подобного рода оказывается более эффективным, чем преобразование Фурье.