О выборе алгоритма численного интегрирования
Результат численного интегрирования – это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. По умолчанию TOL=0.001. Для того чтобы ускорить вычисления, можно установить большее значение TOL.
Совет
Если скорость расчетов имеет для вас принципиальное значение, например, при многократном вычислении интеграла внутри цикла, проявите осторожность, выбирая значение точности. Обязательно поэкспериментируйте на тестовом примере с характерной для ваших расчетов подынтегральной функцией. Посмотрите, как уменьшение константы TOL сказывается на погрешности интегрирования, вычислив интеграл для разных ее значений и выбрав оптимальное, исходя из соотношения точность/скорость вычислений.
Отдавайте себе отчет в том, что при вводе в редакторе Mathcad оператора численного интегрирования вы фактически создаете самую настоящую программу. Например, программой является первая строка листинга с рис. 4.2, просто основная ее часть скрыта от вашего взора разработчиками компании MathSoft. В большинстве случаев об этом не приходится специально задумываться, можно полностью положиться на Mathcad. Но иногда может потребоваться умение управлять параметрами этой программы, как мы уже рассмотрели на примере выбора константы TOL. Кроме нее, пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого:
- Щелкните правой кнопкой мыши в любом месте на левой части вычисляемого интеграла.
- В появившемся контекстном меню выберите один из имеющихся в наличии численных алгоритмов, например Romberg (Ромберга) (рис. 4.3).
Обратите внимание, что перед тем как один из алгоритмов выбран впервые, как показано на рис. 4.3, флажок проверки в контекстном меню установлен возле пункта AutoSelect (Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется Mathcad, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой.
Рис. 4.3. Выбор алгоритма численного интегрирования производится при помощи контекстного меню
Разработчиками Mathcad запрограммированы четыре численных метода интегрирования:
- Romberg (Ромберга) – для большинства функций, не содержащих особенностей;
- Adaptive (Адаптивный) – для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования;
- Infinite Limit (Бесконечный предел) – для интегралов с бесконечными пределами;
- Singular Endpoint (Сингулярная граница) – для интегралов с сингулярностью на конце (применяется модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования).
Старайтесь все-таки оставить выбор численного метода за Mathcad, установив флажок AutoSelect (Автоматический выбор) в контекстном меню. Попробовать другой метод можно, например, чтобы сравнить результаты расчетов в специфических случаях, когда у вас закрадываются сомнения в их правильности.
Если подынтегральная функция "хорошая", т. е. не меняется на интервале интегрирования слишком быстро, не имеет особенностей и не обращается в бесконечность, то численное решение интеграла не принесет никаких неприятных сюрпризов.