-
В этой главе рассматриваются задачи на поиск экстремума функций и близкие к ним задачи приближенного решения алгебраических нелинейных уравнений и систем. Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов.
-
Для численного решения задач поиска локального максимума и минимума в Mathcad имеются встроенные функции Minerr, Minimize и Maximize. Принцип их действия очень близок к принципу расчетов, заложенных во встроенной функции Find, предназначенной для решения алгебраических уравнений (см. главу 5).
-
В задачах на условный экстремум встроенные функции минимизации и максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т. е. им должно предшествовать ключевое слово Given. В промежутке между Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения аргументов минимизируемой функции.
-
Вычисление экстремума функции многих переменных не несет принципиальных особенностей по сравнению с функциями одной переменной. Поэтому ограничимся примером нахождения максимума и минимума функции, показанной в виде графиков трехмерной поверхности и линий уровня (листинг 6.5).
-
Задачи поиска условного экстремума функции многих переменных часто встречаются в экономических расчетах для минимизации издержек, финансовых рисков, максимизации прибыли и т. п. Целый класс экономических задач оптимизации описывается системами линейных уравнений и неравенств.
-
Несмотря на то, что, как уже говорилось, разработчиками Mathcad символьное решение задач оптимизации не предусмотрено, пользователь все-таки имеет возможность аналитического исследования экстремумов функций, опираясь на базовые сведения математического анализа.
-
Градиентные численные методы решения задач отделения корней уравнений и поиска экстремума функций очень близки. Поэтому, в частности, пользователь может тем же самым образом, с помощью контекстного меню, выбирать конкретный метод приближенного решения для функций Minimize и Maximize.
-
Еще один широко распространенный круг задач на решение систем уравнений, называемых обратными, наиболее типичен для современной экспериментальной физики. Значительную часть обратных задач относят к классу некорректно поставленных (или просто некорректных), которые, благодаря своей принципиальной неустойчивости, требуют специального подхода.
-
Одним из наиболее простых методов решения некорректных обратных задач является концепция поиска их квазирешения. Рассмотрим обратную задачу AY=B, где неизвестный вектор Y подлежит определению, а оператор (в линейном случае, матрица) А и вектор правых частей уравнений в известны.
-
Говоря о некорректных задачах, нельзя не отметить, что для их решения советским математиком Тихоновым был предложен чрезвычайно эффективный метод, называемый регуляризацией и основанный на привлечении дополнительной априорной информации о решении, которая может быть как качественной, так и количественной. Например, можно искать решение, максимально близкое к некоторому профилю, т. е.