-
Посвятим данную главу самым простым методам обработки данных – интерполяции-экстраполяции и регрессии. Будем считать, что основным объектом исследования будет выборка экспериментальных данных, которые, чаще всего, представляются в виде массива, состоящего из пар чисел (xi,yi) (проблеме ввода/вывода числовых данных во внешние файлы посвящен заключительный раздел этой главы).
-
Для построения интерполяции-экстраполяции в Mathcad имеется несколько встроенных функций, позволяющих "соединить" точки выборки данных (xi,yi) кривой разной степени гладкости. По определению интерполяция означает построение функции А(Х), аппроксимирующей зависимость у(х) в промежуточных точках (между xi). Поэтому интерполяцию еще по-другому называют аппроксимацией.
-
В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой кривой. Лучше всего для этих целей подходит интерполяция кубическими сплайнами, т. е. отрезками кубических парабол (рис. 13.4):
-
Более сложный тип интерполяции – так называемая интерполяция В-сплайнами. В отличие от обычной сплайн-интерполяции (см. разд. 13.1.2), сшивка элементарных В-сплайнов производится не в точках хi а в других точках ui, координаты которых предлагается ввести пользователю.
-
Все описанные в предыдущих разделах типы интерполяции работают также и как функции экстраполяции данных. Для вычисления экстраполяции достаточно просто указать соответствующее значение аргумента, которое лежит за границами рассматриваемого интервала.
-
Как мы увидели (см. разд. 13.1.4), стандартные функции интерполяции-экстраполяции стоит применять только в непосредственной близости границ интервала данных. В Mathcad имеется более развитый инструмент экстраполяции, который учитывает распределение данных вдоль всего интервала.
-
Двумерная сплайн-интерполяция приводит к построению поверхности z (х,у), проходящей через массив точек, описывающий сетку на координатной плоскости (х,у). Поверхность создается участками двумерных кубических сплайнов, являющихся функциями (х,у) и имеющих непрерывные первые и вторые производные по обеим координатам.
-
Задачи математической регрессии имеют смысл приближения выборки данных (xi,yi) некоторой функцией f(x), определенным образом минимизирующей совокупность ошибок |f(xi)-yi|. Регрессия сводится к подбору неизвестных коэффициентов, определяющих аналитическую зависимость f (х).
-
В Mathcad реализована регрессия одним полиномом, отрезками нескольких полиномов, а также двумерная регрессия массива данных. | Полиномиальная регрессия означает приближение данных (xi,yi) полиномом k-й степени: A(x)=a+bx+cx2 +dx3 +…+hxk (рис. 13.16).
-
Кроме рассмотренных, в Mathcad встроено еще несколько видов трехпараметрической регрессии. Их реализация несколько отличается от приведенных выше вариантов регрессии тем, что для них, помимо массива данных, требуется задать некоторые начальные значения коэффициентов а, b, с.
-
В Mathcad можно осуществить регрессию в виде линейной комбинации C1f1(x)+C2f2(x) +…, где fi(x) – любые функции пользователя, а Ci – подлежащие определению коэффициенты. Кроме того, имеется путь проведения регрессии более общего вида, когда комбинацию функций и искомых коэффициентов задает сам пользователь.
-
Завершим главу, посвященную интерполяции и регрессии, реализации в Mathcad функции ввода/вывода во внешние файлы, поскольку, как правило, анализ данных чаще всего связан с их импортом из внешних источников (например, результатов эксперимента из текстовых или графических файлов) и экспортом на внешние носители.
-
Подобно вводу/выводу в текстовые файлы можно организовать чтение и запись данных в графические звуковые и файлы. | Графические файлы | При записи и чтении числовой информации в файлы различных графических форматов данные отождествляются с интенсивностью того или иного цвета пиксела изображения, находящегося в файле.
-
В Mathcad 12 появились две новых, более универсальных, возможности для импорта данных из внешнего файла. Они связаны с появлением Мастера импорта данных, позволяющего осуществить импорт в нужном формате в диалоговом режиме с подсказками, а также новой встроенной функции READFILE, призванной унифицировать процесс импорта.