Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Двухточечные краевые задачи

Решение краевых задач для систем ОДУ методом стрельбы в Mathcad достигается применением двух встроенных функций. Первая предназначена для двухточечных задач с краевыми условиями, заданными на концах интервала:

• sbval(z,x0,x1, D, load, score) – поиск вектора недостающих L начальных условий для двухточечной краевой задачи для системы N ОДУ:
  • z – вектор размера Lx1, присваивающий недостающим начальным условиям (на левой границе интервала) начальные значения;
  • х0 – левая граница расчетного интервала;
  • x1 – правая граница расчетного интервала;
  • load(x0,z) – векторная функция размера Nx1 левых граничных условий, причем недостающие начальные условия поименовываются соответствующими компонентами векторного аргумента z;
  • score (x1, у) – векторная функция размера Lx1, выражающая L правых граничных условий для векторной функции у в точке x1;
  • D(x,y) – векторная функция, описывающая систему N ОДУ, размера Nx1 и двух аргументов – скалярного х и векторного у. При этом у – это неизвестная векторная функция аргумента х того же размера Nx1.

Внимание!
Решение краевых задач в Mathcad, в отличие от большинства остальных операций, реализовано не совсем очевидным образом. В частности, помните, что число элементов векторов о и load равно количеству уравнений N, а векторов z, score и результата действия функции sbval – количеству правых граничных условий L. Соответственно, левых граничных условий в задаче должно быть (N-L).

Как видно, функция sbval предназначена не для поиска собственно решения, т. е. неизвестных функций y_i(x), а для определения недостающих начальных условий в первой точке интервала, т. е. y_i(x0). Чтобы вычислить y_i(х) на всем интервале, требуется дополнительно решить задачу Коши. Разберем особенности использования функции sbval на конкретном примере (листинг 10.2), описанном выше (см. разд. 10.1.1). Краевая задача состоит из системы двух уравнений (N=2), одного левого (L=1) и одного правого (N-L=2-1=1) граничного условия.

Листинг 10.2. Решение краевой задачи:

Первые три строки листинга задают необходимые параметры задачи и саму систему ОДУ. В четвертой строке определяется вектор z. Поскольку правое граничное условие всего одно, то недостающее начальное условие тоже одно, соответственно, и вектор z имеет только один элемент z₀. Ему необходимо присвоить начальное значение (мы приняли z₀= 10, как в листинге 10.1), чтобы запустить алгоритм стрельбы (см. разд. 10.1.2).

Примечание
Начальное значение фактически является параметром численного метода и поэтому может решающим образом повлиять на решение краевой задачи.