Пример: спектр модели сигнал/шум
Пока мы использовали в качестве примера детерминированный сигнал, представляющий собой сумму трех синусоид. Несмотря на единство термина "дискретное преобразование Фурье", прикладное применение спектрального анализа можно довольно четко разделить на две категории.
- Сигнал, подвергающийся спектральному анализу, получен в условиях пренебрежимо малой погрешности, т. е. его можно, фактически, считать детерминированным. Такая ситуация характерна для экспериментальной оптики и (разного рода) спектроскопии. В этом случае для большинства задач анализа сигналов бывает вполне достаточно использовать простые спектры Фурье, рассмотренные выше (см. разд. 14.1.1-14.1.3).
- Сигнал, полученный в присутствии значительной шумовой компоненты, которая существенно искажает его структуру. В этом случае следует говорить о смеси (к счастью, чаще всего аддитивной) "полезный сигнал + шум", причем в большинстве случаев заранее известна некоторая информация о статистике шумовой компоненты. Данная ситуация очень часто встречается в экспериментальной геофизике и радиофизике. В этом случае подходить к интерпретации спектров следует с вероятностной точки зрения. Как раз этому вопросу мы и посвятим данный пример.
Фурье-спектр
Внесем минимальное добавление в расчеты листинга 14.1, а именно добавим к его четвертой строке (в которой определяется yi) еще одно (четвертое) слагаемое: псевдослучайную величину σrnd(1), где значение 1/σ характеризует отношение сигнал/шум. Явный вид изменений, которые следует внести в листинг 14.1, приведен на рис. 14.10, наряду с графиком сигнала у(х). Расчет Фурье-спектра данного сигнала (в соответствии с алгоритмом, представленным выше, см. листинг 14.1) показан на рис. 14.11. Как видно, присутствие шумовой компоненты может значительно искажать спектр сигнала и затруднять его интерпретацию.
Примечание
Максимальное значение спектра на левом крае частотного интервала является ни чем иным, как проявлением искажающего влияния конечности выборки и сдвига ноль-линии (см. разд. 14.1.3), произошедшим из-за внесения шума с математическим ожиданием, равным 0.5.
Рис. 14.10. Модель сигнал/шум
Рис. 14.11. График Фурье-спектра данных