Собственные векторы и собственные значения матриц
Завершим главу, посвященную решению СЛАУ, еще одной задачей вычислительной линейной алгебры – задачей отыскания собственных векторов х и собственных значений А, матрицы А, т. е. решения матричного уравнения Ах=λх. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений λ1, λ2,… и соответствующих им собственных векторов x1, x2, … Для решения таких задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:
- eigenvais (A) – вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;
- eigenvecs (A) – вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А. n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного Значения, вычисляемого eigenvais;
- eigenvec(A,λ) – вычисляет собственный вектор для матрицы А и заданного собственного значения А:
- А – квадратная матрица.
Применение этих функций иллюстрирует листинг 8.27. В его конце приведена проверка правильности нахождения первого из собственных векторов и собственных значений, причем подстановка результата в выражение Аx=λx проведена дважды – сначала на числовых значениях х и λ, а потом путем перемножения соответствующих матричных компонентов.
Листинг 8.27. Собственные векторы и собственные значения матрицы:
Помимо рассмотренной проблемы поиска собственных векторов и значений иногда рассматривают более общую задачу, называемую задачей на обобщенные собственные значения: Ах=λBх. В ее формулировке помимо матрицы А присутствует еще одна квадратная матрица в. Для задачи на обобщенные собственные значения имеются еще две встроенные функции, действие которых аналогично рассмотренным (листинг 8.28):
- genvais (А,В) – вычисляет вектор v собственных значений, каждый из которых удовлетворяет задаче на обобщенные собственные значения;
- genvecs (А, B) – вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям в векторе v, который вычисляется с помощью genvals. В этой матрице i-й столбец является собственным вектором х, удовлетворяющим задаче на обобщенные собственные значения:
- А, B – квадратные матрицы.
Листинг 8.28. Поиск обобщенных собственных векторов и собственных значений:
