Недоопределенные системы
Альтернативным рассмотренному в предыдущем разделе классу СЛАУ с прямоугольной матрицей размера MxN, (при M<N) является случай, когда количество уравнений меньше количества неизвестных. Как несложно сообразить, такие системы либо имеют бесконечное число решений, либо не имеют решения вовсе. Решение несовместной системы можно искать в смысле минимизации нормы невязки по методу наименьших квадратов (см. разд. 8.2.1 и 8.2.3). Ниже в этом разделе будут разобраны задачи, имеющие бесконечное множество решений.
О постановке задач
Пример аналитического решения системы двух уравнений с тремя неизвестными при помощи символьного процессора приведен в листинге 8.11.
Листинг 8.11. Аналитический поиск семейства решений недоопределенной СЛАУ:
Приведенную простую систему двух уравнений нам удалось без труда решить аналитически, однако для решения недоопределенных систем, состоящих из большого числа уравнений, необходимо уметь использовать численные алгоритмы.
Рассмотрим в качестве еще одного модельного примера единственное уравнение с двумя неизвестными x0-2x1=l0. Хорошей визуализацией, подчеркивающей специфику данной задачи, будет график геометрического места его решений на плоскости (x0,x1) (рис. 8.4). Заметим, что на этом и на следующем рисунке мы использовали обозначение (для корректного построения графика) x0=z. Очевидно, что решений уравнения бесконечно много, и все они находятся на прямой линии x1=(x0-10) /2.
Как и в предыдущем примере (листинг 8.11), нам удалось решить задачу аналитически, и опять-таки число решений получилось бесконечным. Для того чтобы получить возможность осмысленного численного решения подобных (уже не настолько тривиальных) задач, необходимо выделить из бесконечного множества решений одно, оправданное с математической точки зрения, и предложить алгоритм его поиска. Эта проблема решается посредством привлечения понятия нормального псевдорешения.
Рис. 8.4. График всех решений уравнения x0-2x1=10