Матричные разложения. СЛАУ с треугольной матрицей.
Современная вычислительная линейная алгебра – бурно развивающаяся наука. Главная проблема линейной алгебры – это решение систем линейных уравнений. В настоящее время разработано множество методов, упрощающих эти задачи, которые, в частности, зависят от структуры матрицы СЛАУ. Большинство методов основано на представлении матрицы в виде произведения других матриц специального вида, или матричных разложениях (или, по-другому, факторизация*). Как правило, после определенного разложения матрицы задача решения СЛАУ существенно упрощается. Кроме того, прибегая к определенным разложениям матриц, можно получить универсальный вид решения, как для "хороших" (см. разд. 8.1), так и для "плохих" (см. разд. 8.2) СЛАУ.
В Mathcad имеется несколько встроенных функций, реализующих алгоритмы наиболее популярных матричных разложений; и мы рассмотрим их вместе с соответствующими типовыми задачами решения СЛАУ. Однако вначале сделаем некоторые важные замечания о решении систем с треугольной матрицей.
СЛАУ с треугольной матрицей
Начнем разговор о решении СЛАУ посредством матричных разложений с простого, но исключительно важного частного случая, а именно, систем с треугольной матрицей, т. е. такой матрицей, по одну из сторон от диагонали которой находятся одни нули. В листинге 8.17 приведен пример верхнетреугольной L матрицы (первая строка листинга), а также ряд формул, по которым за N операций рассчитывается решение соответствующей линейной системы. Из этого примера ясно, что сведение задачи общего вида к СЛАУ с треугольной матрицей практически решает эту задачу, поскольку гарантировано получение результата за минимальное число операций.
Примечание 1
Подчеркнем, что мы нарочно оформили расчет решения треугольной СЛАУ в виде пользовательской функции trg (A,b), для чего нам пришлось применить элементы программирования. Мы так поступили, чтобы иметь впоследствии возможность применять ее в качестве подпрограммы решения СЛАУ посредством различных матричных разложений, включая листинг 8.17 в последующие листинги. Более того, несложно модифицировать листинг 8.17 для решения нижнетреугольных систем, определив, таким образом, еще одну функцию itrg (А, b).
Примечание 2
Алгоритм решения СЛАУ с треугольной матрицей называют иногда прямым ходом решения СЛАУ (часто подразумевая, что до него выполнены определенные преобразования, именуемые обратным ходом) либо просто подстановкой. В частности, решение еще одного часто встречающегося типа систем с трехдиагональной матрицей сводится к прямому и обратному ходу алгоритма, называемого прогонкой (см. разд. 11.2.2).
Листинг 8.17. Решение СЛАУ с треугольной матрицей (прямой ход):
