Системы линейных уравнений
Одной из центральных проблем вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных уравнений (см. разд. 8.1 и 8.2), отыскание собственных векторов и собственных значений (см. разд. 8.4), а также различные матричные разложения (см. разд. 8.3). Все они будут рассмотрены в данной главе, являющейся, фактически, продолжением предыдущей (которая была посвящена простейшим матричным вычислениям).
Примечание
К системам линейных уравнений сводится множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики. Один из таких примеров подробно рассмотрен в разд. 10.4.
Задачу решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем N уравнений вида:
ai1x1+ai2x2+…+aiNxN=bi (8.1)
Можно записать в эквивалентной матричной форме:
Ax = b, (8.2)Где А – матрица коэффициентов СЛАУ размерности NxN; х – вектор неизвестных; b – вектор правых частей уравнений.
Из общего курса линейной алгебры известно, что такая СЛАУ имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной или, по-другому, несингулярной, т. е. ее определитель не равен нулю. Самый простой способ решения почти всякой несингулярной системы – использование алгоритма Гаусса, реализованного во встроенной функции isoive (см. разд. 8.1.2).
Примечание
На практике, в основном при решении обратных задач (inverse problems), часто приходится сталкиваться не только со СЛАУ с квадратной матрицей А, но и с прямоугольной матрицей размера MxN, т. е. системами, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (как больше, так и меньше него). Такие системы требуют специфического подхода, который будет рассмотрен в разд. 8.2 и 8.3.