За гранью простого. Новый вид науки.
Боюсь, я несколько превысил отведенный мне лимит времени, хотя и не успел полностью познакомить вас ни со всей Математикой, ни со всеми функциями системы Mathematica. Памятуя опыт Никола Бурбаки, я и не ставил перед собой такой задачи. Просто я хотел показать, что с помощью пятистрочечных программ, написанных на языке системы Mathematica, школьники, студенты, аспиранты, инженеры и научные сотрудники самых разных профилей могут успешно решать свои задачи. И если вы готовы идти дальше и применять систему Mathematica в своей работе, – я достиг цели, поставленной перед написанием этой книги. Жаль, конечно, что нет такой одной универсальной книги, в которой была бы изложена вся-вся Математика. Даже в этой тоненькой книжечке были затронуты вопросы, о которых пятитомная Математическая энциклопедия даже не упоминает. И уж тем более это справедливо для пятитомного (в семи книгах!) курса высшей математики, написанного В. И. Смирновым. Хотя многотомное собрание сочинений Бурбаки является, вероятно, одним из наиболее полных, и оно не может рассматриваться как абсолютно полное.
Впрочем, в качестве одной из наиболее полных, если не самой полной, энциклопедий математики можно рассматривать, на мой взгляд, и систему Mathematica. (Конечно, она и неполна, и многотомна. Ведь ядро, хотя и расширяется от версии к версии, охватывает далеко не все разделы математики. Дополнительные сведения содержатся в пакетах.) Но это не простая, а активная энциклопедия: она не просто выдает информацию, а выполняет необходимые действия (вычисления, например). Как и при использовании любой другой, при применении этой энциклопедии требуется определенная подготовка, – из этой книги вы почерпнули необходимые начальные сведения. В отношении удобства пользования система Mathematica уникальна: ею систематически пользуется сам автор – Стив Вольфрам! Более того, именно с ее помощью Стив Вольфрам открыл новый вид науки! Как это случилось? Как и все сложное, очень просто. Стив начал искать ответ на вопрос: почему простые объекты могут образовывать сложную конструкцию и насколько сложным может быть поведение простых систем?
Теория универсальности, или насколько сложным может быть поведение простой динамической системы
Возможно, заголовок кажется вам заумным. Может быть, это просто оттого, что вы никогда не слышали о динамических системах. Не беспокойтесь, все очень просто: в данном случае под динамической системой понимается любая система, в которой некоторый параметр определяется рекуррентным уравнением хn+1 =f(xn, r). В частности, под динамической системой можно понимать числовую последовательность, определяемую таким уравнением. Где встречаются такие последовательности? Да почти повсюду. Вот простейший пример.
Допустим, нас интересует изменение численности какого-либо вида животных в определенном районе. Один раз в год мы считаем их и получаем число х. По этим данным можно построить последовательность x1, х2…, хn,… (n = 1 соответствует первому измерению). Логично предположить, что среди этих чисел есть какая-то закономерность. Естественно ожидать, что численность популяции в (n+1)-й год хn+1 зависит от того, сколько животных было год назад, т. е. от величины хn. Поэтому в простейшем случае хn+1 = f(xn, r).
Здесь f– непрерывная функция; r– некий параметр, который зависит от биологических особенностей рассматриваемого вида. В популяционной генетике часто предполагается, что хn+1 = rxn(N-xn).
Эта формула показывает, что численность вида быстро растет, пока она мала (xn<N), и начинает убывать, когда животных становится слишком много. Если сдeлать замену переменных хn = x'nN, r = r'/N, то в новых переменных наше уравнение будет иметь вид х'n+1 = г' х'n(1 -х'n). Тем самым мы элиминировали параметр N и привели уравнение к более естественной для математиков форме. Теперь по самому смыслу задачи 0<х'n<1. Простоты ради опустим штрихи и займемся исследованием этой более простой динамической последовательности.
Что же будет происходить с различными видами (т.е. с последовательностями хn+1 = rхn(1 -хn) с различными r) по прошествии достаточно долгого времени? Чтобы ответить на этот вопрос для нашей простейшей модели, достаточно выяснить, как будет вести себя последовательность {хn} при различных значениях г. Давайте проведем численный эксперимент. Сначала дадим нужные нам определения.
x[r_][0]=0.5; x[r_][n_] := x[r1[n]=r x[r][n-1]<1-x[r][n-1])Таким образом, мы задали начальный член последовательности х0 = 0.5. Теперь положим, r = 3.83, и вычислим первые пятьдесят членов последовательности.
