Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Числовые функции

• Функция Эйлера (EulerPhi)

  Если в полной системе вычетов по модулю поставить только вычеты, взаимно простые с модулем, получим приведенную систему вычетов по модулю n. Мощность приведенной системы вычетов по модулю n как множества обозначается φ(n), а функция φ:n › φ(n) называется функцией Эйлера.

• Функция Кармайкла (CarmichaelLambda)

  Функция Кармайкла – λ(m). | Если а и т взаимно простые, то a4n-1 0 =}(modm). Но всегда ли φ(m) является наименьшим натуральным числом с таким свойством? Оказывается, нет. Например, для модуля 8 имеем следующую приведенную систему вычетов.

• Функция Мебиуса (MoebiusMu)

  Функция Мебиуса – µ(m). | Функция Мебиуса µ(m) = 1, если т есть произведение четного числа различных простых чисел; | µ(m) = -1, если m есть произведение нечетного числа различных простых чисел; | (f(/n) = 0, если т делится на квадрат какого-либо простого числа. | Вот как вычисляется эта функция.

• Функции, связанные с делителями (Divisors и DivisorSigma)

  Делители натурального числа легко найти с помощью системы Mathematica. Для этого предусмотрена функция Divisors. Найдем, например, делители 120. | Divisors[120] | {1.2.3.4.5.6.8.10.12.15.20.24.30.40.60.120} | Эта функция работает и в области гауссовых чисел.

• Число делителей τ(n). Числа с заданным числом делителей.

  Давайте подсчитаем число делителей числа 360. Для этого можно просто вычислить длину списка делителей. | Length@Divisors[360] | 24 | Есть еще один способ. Можно найти сумму нулевых степеней делителей: | DivisorSigma[0.360] | 24 | Существует единственное натуральное число n = 1, которое имеет только один делитель. Ровно два делителя имеют простые числа, и только они.

• Сверхсоставные числа

  Натуральное число и называется сверхсоставным, если у всех натуральных чисел, меньших n, количество делителей меньше, чем у я. Первым сверхсоставным числом является 1 просто потому, что у него нет предшественников.

• Сумма делителей σ(n)

  Давайте найдем сумму делителей числа 360. Для этого можно просто просуммировать все элементы списка делителей. | Plus@@Divisors[360] | 1170 | Есть и еще один способ. Можно найти сумму первых степеней делителей. | DivisorSigma[1.360] | 1170 | Пример 8.9. График суммы делителей.

• Недостаточные, избыточные, совершенные и дружественные числа

  Нумерология (или гематрия, как ее еще иногда называют) была распространенным увлечением у древних греков… Делители или аликвотные части играли важную роль в нумерологии. | Поскольку в Древней Греции числа изображались буквами греческого алфавита, каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число.

• Резюме

  В этой главе знакомство с важными числовыми функциями мы начали с функции Эйлера ф(m), дающей количество классов приведенной системы вычетов. Эта функция удовлетворяет сравнению a*1n-1 =l(modm). | Однако наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению ax =1l(modm) для всех а, взаимно простых с т, доставляет функция Кармайкла λ(m). Эти функции связаны с каноническим разложением аргумента.