Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Функция Кармайкла (CarmichaelLambda)

Функция Кармайкла – λ(m).

Если а и т взаимно простые, то a^4n-1 0 =}(modm). Но всегда ли φ(m) является наименьшим натуральным числом с таким свойством? Оказывается, нет. Например, для модуля 8 имеем следующую приведенную систему вычетов.

Квадраты этих вычетов сравнимы с 1 по модулю 8.

Однако:

Так что φ(8) не является наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим сравнению aⁿ =l(mod8) для всех а, взаимно простых с 8.

Значения, меньшие φ(n), иногда доставляет обобщенная функция Эйлера). Вдвое меньшие значения для модулей, кратных 8, дает функция Люка φ(x). А наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению аⁱ =1 (mod от) для всех а, взаимно простых с т, обозначается N/n). Функция А. называется функцией Кармайкла. В системе Mathematica у нее имя CarmichaelLambda.

Вот как можно вывести те натуральные числа, для которых k(m)<<р(m).

Выполните эту программу, и вы увидите, что их довольно много.

Пример 8.3. График функции Кармайкла.

Давайте теперь построим график функции Кармайкла. Сначала мы используем функции Table и CarmichaelLambda для построения таблицы tl (точнее, списка) значений функции Кармайкла.

Теперь можем использовать функцию ListPlot для построения графика.

А вот график для n = 100000.

Сравните эти графики с графиками функции Эйлера. Сразу видно, что лучи на графике функции Кармайкла прижимаются к оси абсцисс гораздо ближе, чем на графике функции Эйлера.