Резюме
В этой главе знакомство с важными числовыми функциями мы начали с функции Эйлера ф(m), дающей количество классов приведенной системы вычетов. Эта функция удовлетворяет сравнению a*1n-1 =l(modm).
Однако наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению ax =1l(modm) для всех а, взаимно простых с т, доставляет функция Кармайкла λ(m). Эти функции связаны с каноническим разложением аргумента. По каноническому разложению аргумента легко также вычисляется и функция Мебиуса µ(x), отличная от нуля только в том случае, если ее аргумент свободен от квадратов, т.е. представляет собой произведение (возможно, пустое) различных простых чисел.
Наконец, рассматривая функции, связанные с каноническим разложением аргумента, мы особо выделили функции, связанные с делителями. Функция Divisors позволяет найти все делители числа, а функция DivisorSigma – сумму k-x степеней всех делителей σ(n). При k = 0 получается количество делителей τ(n), а при k = 1 – сумма делителей σ(n).
Изучая случай k = 0, т.е. количество делителей т(/г), мы обратили внимание на сверхсоставные числа. Рассматривая же случай k = 1, т.е. сумму делителей τ(n), мы нашли, что числа бывают недостаточные, избыточные, совершенные и дружественные. Но даже обсудив совершенные числа и дружбу между числами, мы решили далеко не все задачи элементарной теории чисел. (Сальвадор Дали сказал бы: мы не достигли совершенства.)
Но эта книга предназначена для первого (хотя и серьезного) знакомства с системой Mathematica. И потому пришло время обратить свой взор не только на дружбу чисел, но и на те разделы математики, с которыми так дружна теория чисел. Иными словами, на все остальные разделы математики. И раз уж мы вспомнили об искусстве, предварим свое знакомство с возможностями системы Mathematica в других разделах математики коротеньким разговором об искусстве построения графиков.