Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Число делителей τ(n). Числа с заданным числом делителей.

Давайте подсчитаем число делителей числа 360. Для этого можно просто вычислить длину списка делителей.

Есть еще один способ. Можно найти сумму нулевых степеней делителей:

Существует единственное натуральное число n = 1, которое имеет только один делитель. Ровно два делителя имеют простые числа, и только они. (Они делятся на 1 и на себя.) Поэтому наименьшим числом, имеющим два делителя, является 2.

А какие числа имеют ровно 3 делителя? Если n = n^mр -… р^m-1 – каноническое разложение искомого числа, то т(л) = (m₁+1) (m₂+1)… (mt+1). Если τ(n) = 3, то (m1-H) (m2+l)… (mk+l) = 3. Поскольку 3 – простое число, то слева только один множитель может быть отличен от 1. Поэтому k = 1, а m =2. Поэтому ровно 3 делителя имеют квадраты простых чисел, и только они. Наименьшим числом с 3 делителями является, конечно, 4.

Так же легко найти и все числа, имеющие простое число делителей. Обозначим число делителей через τ(n) = q. Тогда (т,+1) (от2 +1)… (mt +1) = q. Поскольку q – простое число, то слева только один множитель может быть отличен от 1. Поэтому k=l,aml = q– 1. Поэтому простое число делителей имеют степени простых чисел, и только в том случае, если показатель степени на 1 меньше простого числа. Наименьшим числом с простым числом делителей q является 2^m 1.

Теперь давайте найдем все числа, имеющие 4 делителя. В этом случае m(n) = 4 и (m,+l) (m,+l)… (mt+l) = 4. Поэтому k<2. Если k= 1, то оm1 = 3, а если k = 2, то nm = 0m= 2. Поэтому ровно 4 делителя имеют кубы простых чисел и произведения двух различных простых чисел. Наименьшим числом с 4 делителями является, конечно, 6.

Наконец, давайте найдем все числа, имеющие 6 делителей. В этом случае m(n) = 6 и (оm,+1) (m, +1)… (mt + 1) = 6. Поэтому k<2. Если k = 1, то оm1 = 5, а если k = 2, то оm =2, 1m = 1. Поэтому ровно 6 делителей имеют пятые степени простых чисел и произведения квадратов простых чисел на другое простое число. Наименьшим числом с 6 делителями является, конечно, 12.

В принципе этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих заданное число делителей.

Впрочем, иногда легче отыскать такое число в таблице, указывающей количество делителей для различных чисел. Составить такую таблицу с помощью системы Mathematica не составляет труда.

Но едва ли стоит иметь такую таблицу в напечатанном виде. Ведь в компьютерную эпоху поиск путем визуального просмотра нескольких сот страниц справедливо считается не наиболее легким решением. Проще модифицировать программу.

Пример 8.5. Наименьшее число, имеющее 14 делителей.

Предположим, нужно найти наименьшее число, имеющее 14 делителей. Тогда программу можно модифицировать так.

Выполнив эту программу, получим результат.