-
Одним из наиболее распространенных видов алгебраических преобразований является замена выражений, часто называемая также подстановкой, в результате выполнения которой какая-либо часть алгебраического выражения заменяется новым выражением. В системе Mathematica предусмотрено два способа подстановок.
-
Чтобы проверить, что выражение ехрr есть многочлен по некоторой переменной var, нужно вызвать функцию PolynomialQ [expr, var]. Результат будет True, если ехрr является многочленом по переменной var, и False – в противном случае.
-
Дробь, числитель и знаменатель которой – полиномы, называется рациональной дробью. Уже знакомые нам функции Expand и Factor могут применяться к рациональным дробям.
-
Произведения векторов и матриц | Скалярное произведение векторов и матриц обозначается точкой. | {a1, a2, a3}.{b1, b2, b3} | a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 | Для вычисления векторного произведения векторов применяется функция Cross. Она обозначается крестиком.
-
Для вычисления пределов предназначена функция Limit. | Вот примеры нахождения нескольких пределов. | Абсолютно ничего сложного. Но помните, что если двустороннего предела нет, система Mathematica может пытаться подсунуть односторонний вместо него, причем даже предупреждения не будет!
-
Для дифференцирования в системе Mathematica предусмотрена команда (функция) D [.,.]. | Вот как вычисляется производная функции . | Заметьте, что выражение, полученное в результате дифференцирования, пришлось упрощать, так как автоматически упрощение не выполняется! | Вот еще один пример.
-
Разложение в ряд Тейлора | Вот как функция tg(x-x3)-sin(x+x3) разлагается в ряд Тейлора: | Чтобы отбросить остаточный член, можно воспользоваться командой Normal: | Ниже приведен пример разложения в ряд Тейлора функции двух переменных.
-
Едва ли можно указать единую схему, пригодную для исследования абсолютно всех функций. Так что едва ли стоит удивляться, что в курсах анализа можно найти множество таких схем – от совсем кратких, похожих на весьма общие указания, до обширных, развернутых, с множеством всевозможных пунктов, в большинстве своем не имеющим никакого отношения к конкретной исследуемой функции.
-
Неопределенные интегралы, или первообразные | Чтобы найти неопределенный интеграл, можно воспользоваться командой Integrate: | Но не всегда все проходит так гладко. Например, в интеграле: | Не учтен случаи n= -1. | Вот еще пример. | Это тавтология.
-
Операции векторного анализа легко определить самостоятельно. Для этого полезны функции Outer и Inner. Функция Outer позволяет создать декартово произведение двух списков. Вот как можно, например, создать список пар, первый элемент которых берется из первого списка, а второй – из второго.
-
Чтобы представить поведение интегральных кривых дифференциального уравнения, полезно начертить поле направлений для данного дифференциального уравнения и изоклины – кривые, пересекающие интегральные кривые под заданным углом.
-
Решает дифференциальные уравнения функция DSolve. | Пример 10.4. | Решим уравнение у'''+4у' = sec 2t. | Решение. Конечно, это линейное дифференциальное уравнение третьего порядка. Поэтому его решение содержит три произвольные постоянные и является суммой какого-нибудь решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
-
Функция DSolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. | Пример 10.9. | Найдем решение системы дифференциальных уравнений х' = у, у' = -а2 х, удовлетворяющее начальным условиям х = 1, у' = 0 при t = 0.
-
В системе Mathematica предусмотрены все функции, необходимые для выполнения основных алгебраических и аналитических операций. Очень легко, в частности, выполняются всевозможные подстановки. Их можно выполнять глобально, одновременно, повторно, по образцу.
