-
Что такое число? Однозначного ответа на этот вопрос нет. Например, комплексное число – это число или все-таки вектор? А действительное число – это число или сечение во множестве рациональных чисел? А если комплексные числа все-таки числа, то кватернионы – тоже числа или уже объекты другой природы?
-
Оказывается, что если вместо целого числа указать равное ему вещественное (для этого достаточно поставить десятичную точку в записи числа), то в результате также будет записано вещественное число с десятичной точкой.
-
Давайте теперь посмотрим, что происходит с разрядностью и точностью при выполнении действий. | Как и следовало ожидать, разрядность больше точности, поскольку число больше 1 и, следовательно, некоторые значащие цифры стоят до десятичной точки.
-
Всякое вещественное число представляет собой сумму его целой и дробной частей: | Есть множество способов преобразования вещественных чисел в целые. Но важнейшими из них являются округление к целому числу и отбрасывание дробной части.
-
Пусть х – вещественное число. Тогда его дробную часть {х} можно определить равенством: {х} = х -[х]. По этому, общепринятому в математике определению дробная часть всегда неотрицательна и меньше единицы: 0<{х}<1.
-
Что значит найти рациональное приближение вещественного числа? Какое приближение следует считать хорошим? На эти вопросы можно отвечать по-разному. | Mathematica, например, считает, что рациональное число p/q – лежит довольно близко к вещественному х, если существует с, примерно равное 10-4, такое, что: | Вот как можно составить список рациональных приближений числа π с точностью до 0.1; 0.01;
-
Хорошо, конечно, что Mathematica, как мы уже видели, действительно умеет многое делать с числами в десятичной системе счисления. Но умеет ли она преобразовывать числа из одной системы счисления в другую? Оказывается, да!
-
В позиционной системе счисления число фактически представляет собой список цифр. Для получения такого списка и работы с ним в системе Mathematica предусмотрено несколько встроенных функций, наиболее важными из которых являются IntegerDigits, DigitCount, RealDigits и FromDigits.
-
Функция MantissaExponent [x] представляет число х в виде списка, который содержит мантиссу и экспоненту числа. | В качестве второго аргумента функции MantissaExponent можно задать основание, которое не обязательно должно быть целым.
-
Функция Abs [ z ] возвращает абсолютную величину (модуль) комплексного числа z. Конечно же, ее аргумент может быть и вещественным. | Знак числа: функция Sign | Если аргумент х – вещественное число, то Sign[x] возвращает – 1, 0 или 1, в зависимости от того, является аргумент отрицательным, нулем или положительным. Если комплексное число z отлично от нуля, то Sign[z] по определению равно i/Abs [z].
-
Функция Numerator[ехрг] собирает в ехрг все множители с неотрицательными показателями. В качестве ехрг можно использовать целые числа, дроби, комплексные числа и их произведение. То же самое функция Denominator делает для сомножителей с отрицательными показателями. Вот пример.
-
Функция ContinuedFraction [x] преобразует число д: в непрерывную дробь. Количество звеньев определяется точностью числа х. Следующая программа, например, находит представления первых 50 чисел Бернулли в виде цепных дробей.
-
Давайте разложим (здесь Ft – /-е число Фибоначчи) в цепную дробь. | Как видите, количество звеньев разложения дроби равно n, причем последнее звено равно 2, а все предшествующие ему (если они есть) – 1. Этим свойством обладают только дроби никакая другая дробь такого разложения не имеет.
-
Как доказал Лагранж, все квадратичные иррациональности (и только они) разлагаются в периодические цепные дроби. Как учитывает это обстоятельство система Mathematica? Давайте выясним это на примере разложения квадратных корней из чисел начального отрезка натурального ряда, деленных на 1, 2, 3.
-
Очень"иррациональный" случай: | Число выглядит весьма иррационально. Давайте попытаемся разложить его в цепную дробь. | Как видите, ничего не получилось. Система Mathematica говорит, что цепная дробь бесконечна, не имеет периода, и потому советует указать количество необходимых элементов.
-
Казалось бы, при разложении чисел в цепные дроби никаких неожиданностей быть не может, поскольку любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Ну а при желании такую дробь всегда можно оборвать, и тогда получится приближение разлагаемого числа с помощью цепной дроби. Но мы уже видели, что не все так просто.
-
Функция FromContinuedFraction является обратной к функции ContinuedFraction. Она преобразует цепную дробь в число. Вот пример. | Ну а как функция FromContinuedFraction справляется с периодическими цепными дробями? Оказывается, она вычисляет равную им квадратичную иррациональность.
-
Мнимая единица | На специальной панели символов системы Mathematica имеется мнимая единица, но иногда ее удобно ввести просто как букву I или даже как \[Imaginaryi] или \[ImaginaryJ]. Вот примеры. | 2I + 1 | 1 + 2i | 2J + 5 | 5 + 2i | Вещественная часть комплексного числа: функция Re | Это совсем незамысловатая функция, возвращающая вещественную часть комплексного числа. | Re[3 + 4I] 3 | Re[a + bI]
