Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Недостаточные, избыточные, совершенные и дружественные числа

Нумерология (или гематрия, как ее еще иногда называют) была распространенным увлечением у древних греков… Делители или аликвотные части играли важную роль в нумерологии.

Поскольку в Древней Греции числа изображались буквами греческого алфавита, каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. А раз так, можно было сравнивать свойства чисел, соответствующих именам людей, со свойствами (характером) человека. Было сходство или нет, достоверных исторических сведений нет, а вот о свойствах чисел, как мы уже не раз убеждались, есть сведения вполне достоверные, хотя и далеко не полные. Идеальными греки считали совершенные числа, т.е. натуральные числа, равные сумме своих натуральных делителей, меньших самого числа. (Здесь следует отметить, что древние греки не считали само число его делителем.) В некоторой степени это можно понять. Ведь если натуральное число равно сумме своих натуральных делителей, меньших самого числа, то можно сказать, что оно равно сумме своих аликвотных частей. Перенесите это свойство на человека. Получится, что человек с этим свойством как бы самодостаточный, он сможет, подобно Робинзону, преодолеть длительную разлуку с родными, друзьями, сможет преодолеть все стихии. (Ведь такой человек "равен сумме своих частей".)

Конечно же, поиску совершенных чисел уделялось огромное внимание. Но мы не станем останавливаться на этом, поскольку, как доказал Эйлер, всякое четное совершенное число имеет вид p = 2^n-1 -М_р, где М_p =2^p -1 – простое число Мерсенна. О том, что числа такого вида являются совершенными, писал еще Евклид в IX книге "Начал". Так что каждое простое число Мерсенна порождает четное совершенное число. И, конечно же, наибольший простой делитель каждого четного совершенного числа является простым числом Мерсенна. Так что в некотором роде мы о четных совершенных числах знаем столько же, сколько о простых числах Мерсенна. Что же касается нечетных совершенных чисел, то тут вполне уместен вопрос: а разве совершенные числа бывают нечетными, разве идеал может быть нечетным? Ответ на этот вопрос до сих пор неизвестен. Не попытаться ли найти его с помощью системы Mathematica? Вполне возможно, что система Mathematica может помочь найти ответ и на этот вопрос. Но пока лобовой атакой, даже при поддержке системы Mathematica, крепости Нечетных Совершенных Чисел не удастся не только взять, но и даже дойти до нее. Ведь как показал автор одного из лучших учебников классической теории чисел Александр Адольфович Бухштаб, наименьшее нечетное совершенное число, если оно существует, имеет не менее двух с половиной тысяч цифр (в десятичной системе счисления). Для прямого перебора всех нечетных чисел это слишком много.

Впрочем, всегда были смельчаки, которые пытались перебирать нечетные числа, используя те или иные дополнительные ухищрения. Еще в 1968 году Брайен Такерман из IBM подобрался, например, к 36-значным числам. К 1977 году всевозможные ухищрения позволили отбраковать все числа до 1050. Если нечетные простые числа существуют, то они имеют не менее 2800 различных простых множителей и имеют вид p^4t +1 N₂, где р – простое число вида 4_n+l, a # взаимно просто с р. Давайте же уточним нижнюю оценку количества цифр в наименьшем нечетном совершенном числе. Как только что было сказано, такое число содержит не менее 2800 различных простых множителей, причем все они, кроме, возможно, одного, входят в степени не ниже 1. Поскольку рассматриваемое число нечетное, то 2 среди этих простых чисел отсутствует. Значит, чтобы получить нижнюю границу, мы можем возвести в квадрат произведение 2800 простых чисел рr = 3, Р3 = 5,…, рrm = 25409 и разделить ее на наибольшее число в этом произведении, т.е. на р[n] = 25409. С системой Mathematica нет проблем.

Конец я опустил, потому что в полученном результате 21 892 цифры.

Это результат, которого еще никому не удалось достигнуть! Хотя вычисленное нами число имеет вид р4М – N2, оно не совершенное, так как сумма всех его делителей, не считая самого числа, является числом, имеющим 21 893 цифры.

Значит, сумма всех делителей этого числа, не считая самого числа, больше самого числа. Число, сумма всех делителей которого, не считая самого числа, больше самого числа, называется избыточным. Иными словами, число п называется избыточным, если о(n) >2n. Честно говоря, несколько удивительно то, что это число оказалось избыточным. Сейчас объясню, почему.