Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Недостаточные, избыточные, совершенные и дружественные числа

С течением времени формулы, предложенные Сабитом, были забыты, а его книгу открыли заново лишь в XIX веке. Впрочем, многие античные и арабские ученые, а также ученые средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав совершенным и дружественным числам. Однако большей частью в этих трактатах было мало новых сведений и много ошибок. Правда, очень удивляет то поразительное единодушие, с которым авторы этих сочинений настаивают на возможности практического использования дружественных чисел. Например, ибн Хальдун прилагает к своему трактату руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый аль-Маджрити (ум. в 1007 г.) приводит рецепт, позволяющий добиться взаимности в любви: надо записать на чем-либо числа 220 и 284, меньшее дать съесть предмету страсти, а большее съесть самому; ученый добавляет, что действенность этого способа он проверил на себе.

Пьер Ферма в 1636 году и Ренэ Декарт в 1638 году независимо друг от друга вновь открыли формулы Сабита. О датах и обстоятельствах этих открытий имеются самые точные сведения, потому что Ферма и Декарт написали Мерсенну, который в предисловии к своей ближайшей книге (Les nouvelles pensees de Galilee (1639)) назвал их открытие крупным достижением гениальных математиков. (Между прочим, в ходе своих исследований Ферма и Декарт вывели формулу, дающую сумму делителей числа по его представлению в виде произведения степеней простых чисел. Можно ли сомневаться, что Мерсенн ее знал?)

Так вот, Вальтер Боро, один из тех весьма удачливых рыбаков, что сознались в том, что просили других вычислителей (Херман те Риле был наиболее удачливым из них) посчитать кое-что на ЭВМ, придумал вот что. Раз способ Сабита дает столь мало дружественных пар, значит, нужно придумать целую серию таких правил. С этой целью он придумал свой рецепт.

Рецепт Вальтера Боро.
Если для пары дружественных чисел вида А= а^-n и В = a-s числа s и р = n + s+l являются простыми, причем а не делится на р, то при всех тех натуральных и, при которых оба числа qt = (n + 1)рⁿ +> -1 и nr= (u + l)(s + 1)р"-I просты,числа В1 = N//</, и В^r = apⁿ *q2 – дружественные.

Рассмотрим пример применения правила. Возьмем пару Пифагора: А = 220 = 22-55 и 5= 284= 22-71. Положим а = 22, и = 55, s =71.

Числа s = 71 и р = n + s+ 1 = 55 + 72 = 127 – простые. Поэтому можно использовать указанное правило. При n= 1 числа <?, = (м + 1)р"+1-1 и <?2 = (u + l)(s + l)pa_-1 не являются простыми, но уже при n = 2 мы получаем пару дружественных чисел В, = 220-1272-903223, В, = 4-1272-65032127.

Эти довольно большие числа, полученные из пары (220, 284) почти без всяких вычислений, не были известны до открытия "рецепта"!

Еще один пример. Возьмем пару Эйлера А = З4*5 * 11 * 29* 89 = а *n и В= 3ⁿ -5-11-2699 = a*s.

Здесь также числа s = 2699 up=u + s+l = 5281 являются простыми. Таким образом, по этой паре Эйлера тоже можно построить соответствующее "правило Сабита-Боро". В этом случае уже при a= 1 числа <?, = (n + 1)M^n-1 -1 и q2 = (u + l)(s + l)p^a-1 будут простыми, и мы получаем дружественные числа.