Пакет решения задач линейной алгебры linalg
Состав пакета linalg
Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple 7, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4-5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и труднообозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.
Поэтому разработчики Maple 7 были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения – математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т. д.
В ядро Maple 7, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры Unalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Он содержит свыше ста функций:
> with(linalg); Warning, the names fibonacci, inverse and multiply have been redefined Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected [BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselimfifibonacci,forwardsub,frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert,htranspose, thermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszerojacobian, Jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve,matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, mulrow, multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, Sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian]
Ниже указано назначение тех функций пакета linalg, которые подробно не описаны:
- addcol – добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;
- addrow – добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;
- angle – вычисляет угол между векторами;
- augment – объединяет две или больше матриц по горизонтали;
- backsub – реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub);
- band – создает ленточную матрицу;
- basis – находит базис векторного пространства;
- bezout – создает Bezout-матрицу двух полиномов;
- BlockDiagonal – создает блок-диагональную матрицу;
- blockmatrix – создает блок-матрицу;
- cholesky – декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;
- charmat – создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) – матрица, вычисляемая как v E-M);
- charpoly – возвращает характеристический полином матрицы;
- colspace – вычисляет базис пространства столбцов;
- colspan – находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;
- companion – вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;
- cond – вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M) norm(М-1);
- curl – вычисляет ротор вектора;
- definite – тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;
- diag – создает блок-диагональную матрицу;
- diverge – вычисляет дивергенцию векторной функции;