Запись целых чисел в двоичной системе счисления. Двоичные коды десятичных чисел.
Арифметика едина, и все ее законы едины, независимо от системы счисления. У нас есть только две цифры, но с их помощью необходимо уметь записывать любое число, расположенное на длинной числовой оси.
Когда закончились двоичные цифры, надо снова начинать с нуля, записав в следующую позицию "единицу". Рассуждая таким образом, мы получаем, что десятичное число "2" у нас будет представлено двоичным числом "10", т. е. "двоичной десяткой":
12 + 1 = 102.
Далее, число "3" десятичной системы станет в двоичной системе числом "11", т. к.
102 + 1 = 112.
Замечание
Не следует удивляться тому, что в десятичной записи число "3" представлено одной цифрой (одноразрядное), а в двоичной ("11") оно представлено двумя цифрами (двухразрядное). Более того, следует учесть, что далее этот разрыв будет увеличиваться.
Следующий шаг снова требует внимания:
112 + 1 =…
Теперь к числу "И" в двоичной системе прибавляем "1": сумма "1 + 1" дает "0", но мы при этом переносим "1" в следующий разряд. В следующем разряде снова получается сумма "1 + 1", т. е. опять "О", значит, создаем еще один разряд и переносим единицу в этот разряд – в итоге получается двоичное число "100", т. е. "двоичная сотня":
112 + 1 = 1002.
Десятичное число "4" в двоичной системе представляется числом "100".
Далее, десятичное число "5" – это двоичное число "101", десятичное число "6" – это двоичное число "110", а десятичное число "7" – это двоичное число "111".
Снова добавляется разряд, следовательно, десятичное число "8" – это уже двоичное число "1000" ("двоичная тысяча"), десятичное число "9" – это двоичное число "1001" и, наконец, десятичное число "10", у него два разряда, представляется двоичным числом "1010", у которого четыре разряда. И так далее (до бесконечности).
Подводя итог математическому упражнению для первого класса, мы можем составить таблицу соответствий десятичных и двоичных чисел, например, в пределах первых двух десятков десятичной системы счисления (табл. 4.3). Читатели, при желании, могут продолжать ее, пока хватит терпения.
Таблица 4.3. Соответствие десятичных и двоичных чисел.
| Десятичное число | Двоичное число | Десятичное число | Двоичное число |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 11 | 1011 |
| 1 | 1 | 12 | 1100 |
| 2 | 10 | 13 | 1101 |
| 3 | 11 | 14 | 1110 |
| 4 | 100 | 15 | 1111 |
| 5 | 101 | 16 | 10000 |
| 6 | 110 | 17 | 10001 |
| 7 | 111 | 18 | 10010 |
| 8 | 1000 | 19 | 10011 |
| 9 | 1001 | 20 | 10100 |
| 10 | 1010 |
Двоичные коды десятичных чисел
В данный момент самое время вспомнить, зачем мы начали конвертирование десятичных чисел в двоичную систему счисления. Это нам необходимо не для того, чтобы убедиться в универсальности законов арифметики (дизайнеры и так охотно поверят специалистам-математикам), на самом деле, мы составили коды десятичных чисел в двоичной системе счисления, а это уже совсем немало.
Ведь, собственно говоря, приведенные в предыдущем разделе рассуждения уже можно квалифицировать как процесс кодирования, т. е. написание (представление) одного вида информации с помощью другого.
Таким образом, мы получаем возможность передавать любое десятичное число двоичными числами, а следовательно, импульсным способом, т. е. определенным сочетанием импульсов (в этом состоит требование компьютерных технологий).
В табл. 4.3 отражены коды первых двадцати десятичных чисел, которые легко передавать как последовательность импульсов.
Какое неудобство двоичной системы счисления бросается сразу в глаза? Заметно, что двоичные числа гораздо длиннее десятичных. Это закон мироздания: экономя на количестве цифр, мы "расплачиваемся" количеством разрядов.
И для того чтобы двоичные числа было легче воспринимать и отображать, их сжимают в восьмеричную систему счисления, о которой также необходимо сказать несколько слов.