Основания и степени в системе счисления
Наконец, пришло время для итоговой таблицы всех рассмотренных систем счисления. В табл. 4.6 представлены числа в нескольких интересующих нас системах счисления, но не все числа, а только те, которые являются "круглыми" в одной из систем (они выделены полужирным шрифтом).
Таблица 4.6. "Круглые" числа в нескольких системах счисления.
| Двоичная | Восьмеричная | Десятичная | Шестнадцатеричная |
|---|---|---|---|
| 10 = 21 | 2 | 2 | 2 |
| 100 = 22 | 4 | 4 | 4 |
| 1010 | 12 | 10 = 101 | А |
| 1000 = 23 | 10 = 81 | 8 | 8 |
| 10000 = 24 | 20 | 16 | 10 = 161 |
| 1 00000 = 25 | 40 | 32 | 20 |
| 1000000 = 26 | 100 = 82 | 64 | 40 |
| 1100100 | 144 | 100 = 102 | 64 |
| 1 0000000 = 27 | 200 | 128 | 80 |
| 100000000 = 28 | 400 | 256 | 100 = 162 |
| 1000000000 = 29 | 1000 = 83 | 512 | 200 |
| 1111101000 | 1750 | 1000 = 103 | ЗЕ8 |
| 1 0000000000 = 210 | 2000 | 1024 | 400 |
| 100000000000 = 211 | 4000 | 2048 | 800 |
| 1 00000000000 = 212 | 10000 = 84 | 4096 | 1000 = 163 |
Обратите внимание на одну интересную закономерность, заметную при рассмотрении этой таблицы. "Круглые" числа во всех системах счисления расположены там, где происходит добавление следующего разряда, а количество нулей соответствует степени числа на том же основании.
Пример
"Шестнадцатеричная тысяча" (три нуля) равна третьей степени основания системы счисления (16), "восьмеричные десять тысяч" (четыре нуля) равны четвертой степени основания системы счисления (8) и, наконец, "двоичный миллиард" (двенадцать нулей) равен двенадцатой степени основания системы счисления (2).
Это еще один аргумент в пользу мысли, что законы математики едины (законы арифметики также). Изменяется всего-навсего основание в каждой конкретной арифметике.
Тот факт, что нам до сих пор привычной представлялась только десятичная система счисления, не может служить препятствием для перехода к другим системам счисления: двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной, как того требуют компьютерные технологии.
- Коды пронизывают нашу жизнь. Код – это совокупность знаков и система определенных правил.
- В компьютерных технологиях все виды информации кодируются только цифрами или, точнее, числами, которые представляются в двоичной системе счисления – способе представления любых чисел с помощью двух знаков (цифр) по позиционному принципу.
- Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры в числе на математическом языке называется разрядом.
- Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.
- Для того чтобы двоичные числа, отличающиеся довольно значительной длиной, было легче воспринимать и отображать, их сжимают в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Если данная тема понятна, следует обратить внимание еще на один аспект, ради которого, собственно, и был затеян этот длинный экскурс в элементарную математику, а именно связь двоичных разрядов и количества кодов, которые можно ему присвоить.