Позиционный метод записи чисел
Действительно, если мы располагаем только десятью знаками (цифрами), то мы сможем записать только десять чисел (от 0 до 9). Но на числе "девять" числовая ось не заканчивается, следовательно, можно двигаться дальше.
А именно: пишем "9 + 1 = ", но все цифры уже использованы, поэтому мы снова начинаем с первой цифры и пишем "0". Но сумма "9 + 1" никак не может быть равной нулю, т. е. "полному отсутствию", наоборот, мы достигли числа "десять", для которого существует специальное слово, но отсутствует специальный знак.
Поэтому, чтобы указать, что мы уже один раз прошли цикл с этой совокупностью цифр, перед нулем ("в предыдущей позиции") мы ставим цифру "1" и тем самым получаем требуемое число "10".
Вот это и называется позиционным методом записи чисел.
Определение
Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом.
Другими словами, значение цифры "переменчиво" и зависит от ее позиции в числе. Мы говорим, что в числе "10" цифра "1" – это уже не "единица", а "десяток", хотя и отображается с помощью одного и того же знака. Например, в числе "одиннадцать" ("11") две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям "единиц" – "111", "1111", "11 111" и т. д.
Справка
Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи, в истории человечества были и иные эксперименты. Вспомним, например, римские цифры. В них все оригинально: другие знаки и другие принципы. Способ записи чисел с помощью римских цифр не грешит единообразием: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например число "XI" означает "одиннадцать", а если – слева, то значение вычитается, например число "IX", состоящее из тех же цифр, уже означает только "девять". Кроме того, в римской системе счисления в числе вес цифры X в любой позиции равен просто десяти, например число XXXII (тридцать два). И, наконец, цифры разбросаны по оси чисел (табл. 4.1).
В нашу современную жизнь многое пришло из Рима, в том числе римское право, латынь в медицине и фармакологии. Однако римская система счисления не прижилась, потому что она отличается указанной выше сложностью, которая препятствует технологичности: скажем, римские числа трудно складывать или умножать, не говоря уже о более сложных функциях.
Но поскольку система действительно оригинальная, то она окончательно не забыта, а используется в "торжественных случаях". Вспомним обозначения съездов партии, иногда в академических изданиях с помощью римских цифр проставляется год издания и т. д. И это уже не математика, а определенный способ стилизации и дизайнерских ухищрений.
Таблица 4.1. Сравнение арабской и римской записи чисел.
| Арабские числа | Римские числа | Арабские числа | Римские числа |
|---|---|---|---|
| 1 | I | 8 | VIII |
| 2 | II | 9 | IX |
| 3 | III | 10 | X |
| 4 | IV | 50 | L |
| 5 | V | 100 | С |
| 6 | VI | 500 | D |
| 7 | VII | 1000 | М |