Запись целых чисел в двоичной системе счисления. Двоичные коды десятичных чисел.
Настало время разобраться, каким же образом можно записывать любые целые числа с помощью двоичной системы счисления, т. е. с помощью всего двух цифр "0" и "1".
Замечание
Разумеется, что записывать можно не только целые, но и дробные, а также любые другие числа, однако это выходит за рамки, необходимые для того, чтобы в конечном счете понять, как происходит кодирование и обработка любой интересующей нас информации, в частности изображений и цвета. Пока же мы не выходим за рамки арифметики, поэтому – терпение: мы уже на пути к этому.
Исходя из этой задачи, попробуем составить таблицу чисел, которые "состоят" из цифр "0" и "1".
Замечание
Как эту задачу можно определить "обычными" словами (наука наукой, однако за скучными, точными фразами надо уметь находить обычный план изложения)? То, что мы сказали ("кодировать в двоичной системе счисления"), на самом деле означает – "как с помощью всего двух цифр написать любое целое число". Можно также сформулировать нашу задачу фразой "как преобразовать десятичные числа в двоичные".
Тогда давайте, рассуждая, заполнять строки таблицы, у которой в левом столбце будут располагаться привычные нам десятичные числа, а в правом – их эквивалент в двоичной системе счисления (табл. 4.2).
С нуля начинается числовая ось натуральных целых чисел. Последующие целые числа получаются с помощью последовательного прибавления единицы к предыдущему числу.
Итак, число "ноль" в десятичной и двоичной системах счисления совпадает и обозначается одной и той же цифрой "0".
Далее переходим к единице, которая получается прибавлением единицы к нулю. В двоичной системе счисления, как и в десятичной, используется также одна и та же цифра "1".
Замечание
Еще раз напомним, что "цифра" и "число" не всегда совпадают. Цифра – это просто знак, количество цифр ограничено. Число – это математическая категория количества, чисел бесконечное множество.
Таблица 4.2. Начало таблицы преобразования десятичных чисел в двоичные.
| Десятичная система счисления | Двоичная система счисления |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
Затем любой первоклассник скажет, что после единицы на числовой оси следует двойка, получаемая прибавлением еще одной единицы.
Для обозначения числа "два" в десятичной системе счисления предусмотрен специальный знак – цифра "2". А в двоичной системе счисления весь, прямо скажем, небогатый запас знаков ("цифр") мы уже исчерпали. Как же быть в этой ситуации?
Читатели, надеюсь, не обидятся, если мы снова напомним некоторые сведения первого класса начальной школы. Итак, вспомним сложение.
2 + 1 = 3; 8 + 1 = 9; 9 + 1 =...Мы получили число "9" и попытались к нему прибавить "1". Почему же мы остановились? У нас опять кончились цифры! До этого момента каждое число получало свой особенный знак или символ – цифру. Последовательно прибавляя "1", мы каждый раз использовали для этого шага особый знак.
И вот после числа "9" особые знаки закончились. Цифр больше нет, а числа-то продолжают возрастать, т. к. числовая ось бесконечна…
Теперь следует вспомнить позиционный принцип, который мы обсуждали ранее, попробуем применить его и к двоичной системе счисления.
Информация о позиционном принципе – в разд. "Позиционный метод записи" данной главы.