Системы счисления
Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную и эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение.
Норберт Винер
Сначала позволим себе напомнить различие между цифрами и числами: число – это абстрагированная от конкретики запись количества (например, число 25 – это двадцать пять предметов чего угодно и не только предметов, а, скажем, лет или килограммов), а цифра – это специальный знак для обозначения количества единиц. Следует обратить внимание, что цифры – это тоже записи чисел, например 8 – это не только цифра, но и число.
Справка
Слово "цифра" происходит от позднелатинского слова "cifra", первые цифры появились у египтян и вавилонян, причем интересно, что цифры, как специальные знаки, образовались позже, чем буквы. Так, многие народы (греки, финикияне, евреи, сирийцы) для цифр использовали буквы алфавита, в России аналогичная система применялась вплоть до XVI века. Современные так называемые "арабские цифры" имеют неясное происхождение, например, утверждают, что они принесены в Европу арабами в XIII веке возможно из Индии. Повсеместно их стали использовать с XV века.
Справка
Число – это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики; оно появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем, абстрагировавшись, стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… и т. д. Для наших целей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В частности, задачи измерения площадей привели к понятию рационального (дробного) числа, затем появились отрицательные числа, необходимость в вычислении отношения диагонали квадрата к его стороне привела к открытию иррациональных чисел, рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел и т. д. И лишь в XIX веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.
Со школьной скамьи известно, что числовая ось бесконечна, поскольку к каждому числу можно прибавить еще единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом понятно, что придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально.
Важная мысль
Невозможно каждому числу на бесконечной числовой оси поставить в соответствие особый знак – цифру.
Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольких систем счисления.
Определение
Счисление (система счисления) – это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу.
В этом определении стоит выделить следующие важные моменты.
- Количество знаков, которые обычно именуются "цифрами", всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (обычно мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например 23 456 или 1 000 123 456 789.
- Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется "позиционным".