Эллиптические уравнения
Уравнение Пуассона с произвольными граничными условиями
В более сложных случаях, например для решения краевой задачи с ненулевыми условиями на границах, следует использовать другую встроенную функцию relax, имеющуюся в Mathcad.
- reiax(a,b,c,d,e,F,v,rjac) – матрица решения дифференциального уравнения в частных производных на квадратной области, полученного с помощью алгоритма релаксации для метода сеток;
- a,b,c,d,e– квадратные матрицы коэффициентов разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальное уравнение;
- F – квадратная матрица, задающая правую часть дифференциального уравнения;
- v – квадратная матрица граничных условий и начального приближения к решению;
- rjac – параметр численного алгоритма (спектральный радиус итераций Якоби).
Параметр численного алгоритма характеризует скорость сходимости итераций. Он должен быть числом от 0 до 1. В матрице граничных условий v необходимо задать только граничные элементы, исходя из значения краевых условий по периметру расчетной области. Прочие (внутренние) элементы этой матрицы служат для задания начального приближения к решению. Суть алгоритма релаксации сводится к тому, что в ходе итераций происходит проверка уравнений и соответствующая коррекция значений искомой функции в каждой точке. Если начальное приближение выбрано удачно, то можно надеяться, что алгоритм сойдется ("срелаксирует") к правильному решению.
Все матрицы, задающие как коэффициенты разностной схемы a,b,c,d,e, граничные условия v, так и само решение F, должны иметь одинаковый размер (M+1)х(M+1), соответствующий размеру расчетной области. При этом целое число м обязательно должно быть степенью двойки: M=2".
Решение уравнения Пуассона с тремя источниками разной интенсивности при помощью функции relax приведено в листинге 13.7.
Листинг 13.7. Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax:
Первые три строки имеют тот же смысл, что и в предыдущем листинге. Только вместо одного источника тепла взято их другое распределение – один сильный источник, один более слабый и один сток тепла. В следующих шести строках задаются коэффициенты разностной схемы. Отложим их обсуждение до последнего раздела этой главы, ограничившись утверждением, что для решения уравнения Пуассона коэффициенты должны быть взяты именно такими, как показано в листинге 13.7. В предпоследней строке задана матрица нулевых граничных условий и нулевых начальных приближений, а в последней матрице G присваивается результат действия функции relax. График полученного решения в виде линий уровня показан на рис. 13.18.
Рис. 13.18. Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax (листинг 13.7)