Иллюстрированный самоучитель по MatLab

Минимизация функции нескольких переменных

Значительно сложнее задача минимизации функций нескольких переменных f(х ₁ ,…). При этом значения переменных представляются вектором х, причем начальные значения задаются вектором х ₀ . Для минимизации функций ряда переменных MATLAB обычно использует разновидности симплекс-метода Нелдера-Мида.

Этот метод является одним из лучших прямых методов минимизации функций ряда переменных, не требующим вычисления градиента или производных функции. Он сводится к построению симплекса в n-мерном пространстве, заданного n+1 вершиной. В двумерном пространстве симплекс является треугольником, а в трехмерном – пирамидой. На каждом шаге итераций выбирается новая точка решения внутри или вблизи симплекса. Она сравнивается с одной из вершин симплекса. Ближайшая к этой точке вершина симплекса обычно заменяется этой точкой. Таким образом, симплекс перестраивается и обычно позволяет найти новое, более точное положение точки решения. Решение повторяется, пока размеры симплекса по всем переменным не станут меньше заданной погрешности решения.

Реализующая симплекс-методы Нелдера-Мида функция записывается в виде:

• fminsearch(@fun,x0) – возвращает вектор х, который является локальным минимумом функции fun(x) вблизи х0.х0 может быть скаляром, вектором (отрезком) при минимизации функции одной переменной или матрицей (для функции нескольких переменных);
• fminsearch(@fun,x0,options) – аналогична описанной выше функции, но использует вектор параметров options точно так же, как функция fminbnd;
• fminsearch(@fun,x0,options.P1.P2,…) – сходна с описанной выше функцией, но передает в минимизируемую функцию нескольких переменных fun(x.P1,P2….) ее дополнительные аргументы Р1. Р2,…. Если требуется использовать параметры вычислений по умолчанию, то вместо options перед Р1, Р2 необходимо ввести [ ].;
• [x.fval] = fminsearch(…) – дополнительно возвращает значение целевой функции fval в точке минимума;
• [x.fval.exitflag] = fminsearch(…) – дополнительно возвращает параметр exitflag, положительный, если процесс итераций сходится с использованием options .tol X, отрицательный, если итерационный процесс не сходится к полученному решению х, и 0, если превышено максимальное число итераций options .maxi ten;
• [х .fval.exitflag.output] – fminsearch(…) возвращает структуру (запись) output,
• output.algorithm – использованный алгоритм;
• output.funcCount – число оценок целевой функции;
• output.Iterations – число проведенных итераций.

Классическим примером применения функции fminsearch является поиск минимума тестовой функции Розенброка, точка минимума которой находится в "овраге" с "плоским дном": rb(x ₁ ,x ₂ ,а) = 100*(x ₂ -x ₁ )² + (а -x ₁ )².

Минимальное значение этой функции равно нулю и достигается в точке [ а а² ]. В качестве примера уточним значения x ₁ и х ₂ в точке [-1.2 1]. Зададим функцию (в файле rb.m):

Теперь решим поставленную задачу:

Для лучшего понимания сути минимизации функции нескольких переменных рекомендуется просмотреть пример минимизации этой функции, имеющийся в библиотеке демонстрационных примеров Demos.

Для минимизации функций нескольких переменных можно использовать также функцию MATLAB fminunc и функцию Isqnonlin из пакета Optimization Toolbox. Первая из них позволяет использовать предварительно заданные командой optimset порог сходимости для значения целевой функции, вектор градиентов opt ions, grad-obj, матрицу Гесса, функцию умножения матрицы Гесса или график разреженности матрицы Гесса целевой функции Isqnonlin реализует метод наименьших квадратов и, как правило, дает наименьшее число итераций при минимизации. Ограничимся приведением примеров их применения для минимизации функции Розенброка: