Иллюстрированный самоучитель по MatLab

Использование решателей систем ОДУ

В описанных далее функциях для решения систем дифференциальных уравнений приняты следующие обозначения и правила:

• options – аргумент, создаваемый функцией odeset (еще одна функция – odeget или bvpget (только для bvp4c)– позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию или с помощью функции odeset /bvpset);
• tspan – вектор, определяющий интервал интегрирования [tO tfinal]. Для получения решений в конкретные моменты времени t0, tl,…, tfinal (расположенные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [t0 tl… tfinal];
• у0 – вектор начальных условий;
• p1, р2,." – произвольные параметры, передаваемые в функцию F;
• Т, Y – матрица решений Y, где каждая строка соответствует времени, возвращенном в векторе-столбце Т.

Перейдем к описанию функций для решения систем дифференциальных уравнений:

• [T.Y] = solver(@F,tspan,у0) – где вместо solver подставляем имя конкретного решателя – интегрирует систему дифференциальных уравнений вида у'=F(t,y) на интервале tspan с начальными условиями у0. @F – дескриптор ODE-функции. Каждая строка в массиве решений Y соответствует значению времени, возвращаемому в векторе-столбце Т;
• [T.Y] = solver(@F, tspan, y0 .options) – дает решение, подобное описанному выше, но с параметрами, определяемыми значениями аргумента options, созданного функцией odeset. Обычно используемые параметры включают допустимое значение относительной погрешности RelTol (по умолчанию le-З) и вектор допустимых значений абсолютной погрешности AbsTol (все компоненты по умолчанию равны 1е-6);
• [T.Y] = solver(@F,tspan,y0,options,p1,p2…) – дает решение, подобное описанному выше, передавая дополнительные параметры pi, р2,… в m-файл F всякий раз, когда он вызывается. Используйте options=[], если никакие параметры не задаются;
• [T.Y.TE.YE.IE] = solver(@F.tspan,y0,options) – в дополнение к описанному решению содержит свойства Events, установленные в структуре options ссылкой на функции событий. Когда эти функции событий от (t, у, равны нулю, производятся действия в зависимости от значения трех векторов value, isterminal, di rection (их величины можно установить в m-файлах функций событий). Для i-й функции событий value(i) – значение функции, isterminal (i) – прекратить интеграцию при достижении функцией нулевого значения, direction^) = 0, если все нули функции событий нужно вычислять (по умолчанию), +1 – только те нули, где функция событий увеличивается, – 1 – только те нули, где функция событий уменьшается. Выходной аргумент ТЕ – вектор-столбец времен, в которые происходят события (events), строки YE являются соответствующими решениями, а индексы в векторе IE определяют, какая из i функций событий (event) равна нулю в момент времени, определенный ТЕ. Когда происходит вызов функции без выходных аргументов, по умолчанию вызывается выходная функция odeplot для построения вычисленного решения. В качестве альтернативы можно, например, установить свойство OutputFcn в значение ' odephas2' или 'odephas3' для построения двумерных или трехмерных фазовых плоскостей.
• [T.X.Y] = sim(@model,tspan.-y0.options,ut.p1,р2..") – использует модель SIMULINK, вызывая соответствующий решатель из нее. Пример:

Параметры интегрирования (options) могут быть определены и в m-файле, и в командной строке с помощью команды odeset. Если параметр определен в обоих местах, определение в командной строке имеет приоритет.

Решатели используют в списке параметров различные параметры:

• NormControl – управление ошибкой в зависимости от нормы вектора решения [on | {off}]. Установите 'on', чтобы norm(e) <= max(RelTol*norm(y), AbsTol). По умолчанию все решатели используют более жесткое управление по каждой из составляющих вектора решения;
• RelTol – относительный порог отбора [положительный скаляр]. По умолчанию 1е-3 (0.1% точность) во всех решателях; оценка ошибки на каждом шаге интеграции e(i) <= max(RelTol*abs(y(i)), AbsTol(i));
• AbsTol – абсолютная точность [положительный скаляр или вектор {1е-6}].Скаляр вводится для всех составляющих вектора решения, а вектор указывает на компоненты вектора решения. AbsTol по умолчанию 1е-6 во всех решателях;
• Refine – фактор уточнения вывода [положительное целое число] – умножает число точек вывода на этот множитель. По умолчанию всегда равен 1, кроме ODE45, где он 4. Не применяется, если tspan #####> 2;
• OutputFcn – дескриптор функция вывода [function] – имеет значение в том случае, если решатель вызывается без явного указания функции вывода, OutputFcn по умолчанию вызывает функцию odeplot. Эту установку можно поменять именно здесь;
• OutputSel – индексы отбора [вектор целых чисел] Установите компоненты, которые поступают в OutputFcn. OutputSel по умолчанию выводит все компоненты;
• Stats – установите статистику стоимости вычислений [on {off}];
• Jacobian – функция матрицы Якоби [function constant matrix]. Установите это свойство на дескриптор функции FJac (если FJac(t, у) возвращает dF/dy) или на имя постоянной матрицы dF/dy;
• Jpattern – график разреженности матрицы Якоби [имя разреженной матрицы]. Матрица S с S(i,j) = 1, если составляющая i F(t, у) зависит от составляющей j величины у, и 0 в противоположном случае;
• Vectorized – векторизованная ODE-функция [on | {off}]. Устанавливается на 'on', если ODE-функция F F(t,[yl y2…]) возвращает вектор [F(t, yl) F(t, y2)…];
• Events – [function] – введите дескрипторы функций событий, содержащих собственно функцию в векторе value, и векторы isterminal и direction (см выше);
• Mass – матрица массы [constant matrix function]. Для задач М*у' = f(t, у) установите имя постоянной матрицы. Для задач с переменной М введите дескриптор функции, описывающей матрицу массы;
• MstateDependence – зависимость матрицы массы от у [none | {weak} | strong] – установите 'nоnе' для уравнений M(t)*y' = F(t, у). И слабая ('weak'), и сильная ('strong') зависимости означают M(t, у), но 'weak' приводит к неявным алгоритмам решения, использующим аппроксимации при решении алгебраических уравнений;
• MassSingular – матрица массы М сингулярная [yes no | {maybe}] (да/нет/может быть);
• MvPattern – разреженность (dMv/dy), график разреженности (см функцию spy) – введите имя разреженной матрицы S с S(i,j) = 1 для любого k, где (i, k) элемент матрицы массы M(t, у) зависит от проекции] переменной у, и 0 в противном случае;
• Initial Step – предлагаемый начальный размер шага, по умолчанию каждый решатель определяет его автоматически по своему алгоритму;
• Initial SIope – вектор начального уклона ур0 ур0 = F(t0,y0)/M(t0, y0);
• MaxStep – максимальный шаг, по умолчанию во всех решателях равен одной десятой интервала tspan;
• BDF (Backward Differentiation Formulas) [on | {off}] – указывает, нужно ли использовать формулы обратного дифференцирования (методы Gear) вместо формул численного дифференцирования, используемых в ode 15s по умолчанию;
• MaxOrder – Максимальный порядок ODE15S [1 | 2 | 3 4 | {5}].