Иллюстрированный самоучитель по MatLab

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решатели ОДУ.

Анализ поведения многих систем и устройств в динамике, а также решение многих задач в теории колебаний и в поведении упругих: оболочек обычно базируются на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

С граничными условиями y(t ₀ t _end , p) = b, где t _end , t ₀ – начальные и конечные точки интервалов. Параметр t не обязательно означает время, хотя чаще всего решение дифференциальных уравнений ищется во временной области. Вектор b задает начальные и конечные условия.

Ниже коротко описаны численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и некоторые вспомогательные функции, полезные для решения систем ОДУ. Дается представление о пакете расширения, решающем дифференциальные уравнения в частных производных.

Решатели ОДУ

Для решения систем ОДУ в MATLAB реализованы различные методы. Их реализации названы решателями ОДУ.

Примечание
В этом разделе обобщенное название solver (решатель) означает один из возможных численных методов решения ОДУ: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, bvp4c или pdepe.

Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений, причем для решения жестких систем уравнений рекомендуется использовать только специальные решатели ode 15s, ode23s, ode23t .ode23tb:

• ode45 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты;
• ode23 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот мето;. может дать выигрыш в скорости решения;
• ode113 – многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения
• ode23tb – неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем

Несмотря на сравнительно низкую точность, этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s;

• ode15s – многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5, по умолчанию 5), использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения;
• ode23s – одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности решения жесткой системы дифференциальных уравнений;
• ode23t – метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты при решении задач, описывающих колебательные системы с почти гармоническим выходным сигналом;
• bvp4c служит для проблемы граничных значений систем дифференциальных уравнений вида y^'== f(t,y), F(y(a), y(b), p)⁼ 0 (краевая задача);
• pdepe нужен для решения систем параболических и эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных, введен в ядро системы для поддержки новых графических функций Open GL, пакет расширения Partial Differential Equations Toolbox содержит более мощные средства.

Все решатели могут решать системы уравнений явного вида у' = F(£, y). Решатели ode15s и ode23t способны найти корни дифференциально-алгебраических уравнений M(t)y' = F(t, у}, где М называется матрицей массы. Решатели ode!5s, ode23s, ode23t и ode23tb могут решать уравнения неявного вида M(t,y) у' = F(t, у). И наконец, все решатели, за исключением ode23s, который требует постоянства матрицы массы, и bvp4c, могут находить корни матричного уравнения вида M(t, у) у' – F(t, у) .ode23tb, ode23s служат для решения жестких дифференциальных уравнений .ode15s – жестких дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, ode23t – умеренно жестких дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений.