Математические системы в образовании и в науке
Что дает компьютерная математика университетам и школам
В конечном счете, СКМ – не более чем удобный и мощный инструмент для учащегося, педагога, инженера или научного работника. Как его применять (в методическом, научном и практическом отношении), зависит уже от пользователя. Однако важно и ценно то, что системы символьной математики снимают у учащихся психологический барьер в реальном применении математики, особенно высшей.
Тем не менее, многие преподаватели математики опасаются приобщения своих учеников к работе с СКМ. Бывает, что некоторые преподаватели школ и вузов при подготовке массовых заданий по алгебре, тригонометрии и геометрии сами применяют СКМ – например, для подготовки заданий по курсам математики или физики. Но это становится еще одним наивным поводом ограждать учащихся от систем символьной математики и даже запрещать их в учебном процессе. Оно и понятно – ведь школьник или студент, имеющий компьютер с системой компьютерной алгебры, прощелкает все подобные примеры за считанные минуты. Между тем учащихся, столь виртуозно владеющих системами компьютерной математики, надо лишь всячески поощрять! Увы, пока их очень мало…
Надо учитывать, что эффективное применение систем компьютерной алгебры практически невозможно без четкого понимания основ элементарной и высшей математики. Невозможно оно и без творческого участия пользователя как в постановке решения задач, так и в контроле и отборе результатов их решения. В большинстве математических систем используются специальные опции и директивы, направляющие решение в нужное русло. В какое именно – должен определить пользователь, владеющий нужными для этого математическими понятиями. Кроме того, именно пользователю необходимо проверить полученные результаты и убедиться в их достоверности.
Среди части преподавателей вузов существует в корне неверное мнение о том, что не нужно изучать сами СКМ – достаточно использовать доморощенные обучающие программы. Среди таких программ и впрямь есть интересные разработки, но, как правило, они базируются на ядре той или иной символьной СКМ, причем нередко старых версий, применяемых с целью обойти лицензионные ограничения.
По большому счету, такие обучающие системы ничего нового в процесс математических вычислений не вносят. Современные универсальные СКМ намного мощнее подобных программ, имеют более совершенный и более удобный интерфейс пользователя, а главное – только они реально применяются на месте работы будущих специалистов. Поэтому изучение современных СКМ столь же необходимо, как изучение офисных программ, например, того же текстового редактора Word 95/97. Наиболее удобной формой для этого являются спецкурсы, хотя и в ряде обязательных курсов такое изучение предусмотрено новыми учебными программами Министерства образования РФ.
В наших экономических условиях особенно велика роль систем компьютерной математики как мощных электронных справочников. Число издаваемых обычным способом справочников по математике или физике (не говоря уже о инженерных дисциплинах) в последние годы катастрофически упало. Это повышает роль справочников электронных, тем более что справочные базы данных современных систем компьютерной математики обладают рядом очевидных достоинств:
- вмещают в себя объемы информации, эквивалентные порой десяткам книг;
- аккумулируют знания, полученные за многие тысячелетия развития математики;
- имеют безупречное оформление документов (цветные тексты и иллюстрации, всевозможные выделения, качественные иллюстрации и т. д.);
- имеют разную организацию оглавления (индексную, поиск по контексту и т. д.); О отличаются очень быстрым поиском нужной информации по ряду критериев;
- имеют "живые" примеры, которые можно изменять в ходе просмотра справочных данных;
- справочные материалы могут сопровождаться звуковыми и видеокомментариями;
- позволяют готовить высококачественные и наглядные уроки не только по любым разделам математики, но и по многим дисциплинам, базирующимся на применении математического аппарата;
- позволяют быстро размножить интересующие пользователя материалы;
- обладают возможностью обновления и пополнения из сети Интернет.
Современные СКМ следует рассматривать не только как электронные справочники нового поколения, но и как системы для самообучения и дистанционного обучения математике. Однако для этого они должны быть снабжены грамотно составленными (прежде всего в методическом отношении) электронными уроками или книгами. Здесь необъятный простор для творчески мыслящих педагогов! В то же время, при отсутствии таких уроков применение математических систем может иметь негативные последствия для образования – опасна подмена обучения основам математики обучением основам работы с математическими системами.
Многие виды вычислений, даже элементарных, довольно трудоемки. Например, построение трехмерной поверхности требует зачастую сотен однообразных вычислений, выполнять которые крайне муторно даже при применении калькуляторов. Современные СКМ (в том числе Mathematica) делают это за считанные секунды, а то и за доли секунды. К тому же они сразу же строят графики поверхностей с разнообразной функциональной окраской и позволяют интерактивно вращать их (Mathematica 4), добиваясь лучшей выразительности и лучшего обзора фигур.
Применение СКМ в образовании избавляет учащихся от массы рутинных вычислений и высвобождает их время для обдумывания алгоритмов решения задач, более обоснованной постановки их решения, многовариантного подхода и представления результатов в наиболее наглядной форме. Высвободившееся время можно использовать для более глубокого изучения математической или физической сущности решаемых задач и их решения различными методами. Таким образом, СКМ не только не лишают учащихся серьезных математических навыков, но, напротив, способны их расширить и углубить.
Немаловажным фактором является то, что новейшие СКМ относятся к самым серьезным программным продуктам, имеющим современный пользовательский интерфейс и мощные средства визуализации всех этапов работы – причем, в области математики более выразительные, чем те, которые дают текстовые процессоры класса Word 95/97. Так что, работая с ними, пользователь поневоле осваивает работу с компьютером и познает тонкости интерфейса современных программ.
Кроме того, современные СКМ позволяют готовить и распечатывать документы, затрачивая на это куда меньше времени, чем популярные у математиков системы ТеХ или LaTeX. Впрочем, Mathematica прекрасно сожительствует с ними и позволяет представлять данные в необходимом для этих систем формате. Mathematica 4 поддерживает новейший формат подготовки математических документов для Интернета – MathML.
Работать с современными СКМ просто, приятно и поучительно. Благодаря этому освоение систем Mathematica воспринимается учащимися с большим интересом, что служит побудительным мотивом к их внедрению в систему образования, причем не только высшего, но и среднего, и даже начального (последнему, как отмечалось, фирма Wolfram в последние годы уделяет большое внимание).