Примеры подготовки пакетов расширений
Пакет реализации метода Рунге-Кутта
Теперь рассмотрим, как выглядит пакет расширения, решающий систему дифференциальных уравнений хорошо известным численным методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Ниже представлена распечатка данного пакета.
(*:Title: RungeKutta *) (* iContext: ProgramminglnMathematica'RungeKutta' *) BeginPackage["ProgramminglnMathematica'RungeKutta'"] RKSolve::usage ="RKSolve[{el,e2,..}, {yl,y2,..}, {al,a2,..}, {tl, dt}] numerically integrates the ei as functions of the yi with inital values ai. The integration proceeds in steps of dt from 0 to t1. RKSolve[{el, e2,..},{yl,y2,..},{al,a2,..},{t,t0,tl, dt} ] integrates a time-dependent system from t0 to t1."Begin["'Private'"] RKStep[f_, y_, y0_, dt_]: =Module [{ kl, k2, k3, k4 }, kl = dt N[ f /. Thread[y > y0] ]; k2 = dt N[ f /. Thread[y > y0 + kl/2] ]; k3 = dt N[ f /. Thread [y > y0 + k2/2] ]; k4 = dt N[ f /. Thread [y > y0 + k3] ]; y0 + (kl + 2 k2 + 2 k3 + k4)/6RKSolve[f_List, y_List, y0_List, {tl_, dt_}]: =NestList[ RKStepff, y, #, N[dt]]&, N[y0], Round [N [ tl /dt ]] ] /; Length [f] == Length [y] == Length [y0] RKSolve [f_List, y_List, y0_List, {t_, t0_, tl_, dt_}]: = Module f { res }, res = RKSolve [ Append[f, 1], Append[y, t], Append[y0, t0], {tl-t0, dt} ]; Drop[#, - 1]& /@ res /; Length [f] == Length [y] == Length [y0] End[ ] Protect [ RKSolve ] EndPackage[ ]Знающие реализацию этого метода обратят внимание на естественность записи общеизвестных математических операций. Пакет содержит определения двух функций: основной (RKSolve) и вспомогательной (RKStep). Последняя содержит вычисление решения на очередном шаге алгоритма по результатам вычислений на предшествующем шаге. Используется подстановка для переменной х и вычисление решения на очередном шаге по известной формуле Рунге- Кутта четвертого порядка точности.
Теперь рассмотрим, как можно использовать такой пакет, создать который можно в любом текстовом редакторе, например в редакторе NotePad, входящем в состав Windows 95/98. Для удобства работы можно поместить файл этого пакета rk4.m в папку Mypack, расположенную в папке со стандартными пакетами. В этом случае вызов пакета и проверка его загрузки осуществляются следующим образом:
<< mypack\rk4.m ?RKSolve RKSolve [ {el, e2,..}, {yl,y2,..}, {al,a2,..}, {tl, dt}] numerically integrates the ei as functions of the yi with inital values ai. The integration proceeds in steps of dt from 0 to tl. RKSolve [ {el, e2,..}, {yl,y2,..}, {al,a2,..}, {t, t0, tl, dt}] integrates a time-dependent system from t0 to t1.Итак, при обращении ?RKSolve выводится информация о формате применения функции RKSolve. Она задана на английском языке. Можно записать эту информации и на русском языке, однако при этом возможна нестыковка наборов шрифтов. Поэтому рекомендуется подобную информацию давать на английском языке. В нашем случае решается система дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши, заданная правыми частями {e1, е2,…} с переменными {y1, у2,…} и их начальными значениями {a1, а2,…} в интервале времени от 0 до.1 при фиксированном шаге dt. Во второй форме записи функции время t может меняться от t0 до tl с шагом dt.
Приведенный ниже пример демонстрирует, как этот пакет используется на практике для решения системы дифференциальных уравнений y' = t*y + z и z' = t + y*z при начальных значениях у = z = 1 и t, меняющемся от 1 до 1.5 с шагом 0.1:
RKSolve[{t*y + z, t + y*z}, {y, z}, {1, 1}, {t, 1, 1.5, 0.1}] {{!., 1.}, {1.22754, 1.22844), {1.52241, 1.53202), {1.90912, 1.95373}, {2.42456, 2.57444), {3.12741, 3.55937}}Решение представлено списком значений {yi, zi}, определяющим зависимости y(t) и z(t). Этот пример хорошо иллюстрирует реализацию популярного численного метода для решения систем дифференциальных уравнений.