Анализ. Дифференцирование.
Хотя систему Mathematica и подобные ей называют системами компьютерной алгебры, обычно в них так или иначе представлены все фундаментальные разделы математики. Возможности системы Mathematica в области математического анализа очень велики, и надо полагать, что Лейбниц, Ньютон и Эйлер были бы счастливы поэкспериментировать в области анализа с таким инструментом. Мы же в этой главе ограничимся простейшими примерами.
Дифференцировать в системе Mathematica не просто, а очень просто! В качестве аргументов команды (функции) дифференцирования D [.,. ] нужно указать ту функцию, которую мы намерены продифференцировать, и ту переменную (или переменные), по которой (которым) берется производная. Вот как вычисляется производная функции хn.
D[x ^ N, x]Nx-1+N.
А вот так вычисляется частная производная функции sin(xyz) по переменной z.
D[Sin[x y z], z] x y Cos[x y z]Смешанные частные производные также вычисляются без проблем.
D[Sin[x y z], z, y, x, x] -5 x y2 z2 Cos[x y z] - 4 y z Sin[x y z] + x2 y3 z3 Sin[x y z]Это же можно записать иначе.
D[Sin[x y z], {x, 2}, y, z] -5 x y2 z2 Cos[x y z] - 4yzSin[xyz] + x2y3z3Sin[xyz]Полный дифференциал вычисляется посредством команды Dt:
Dt[Sin[x y z]] Cos[x y z](y z Dt[x] + x z Dt[y] + x y Dt[z])Где Dt [x], Dt [у] и Dt [z] – дифференциалы переменных х, у и z.
Естественно, что команда Dt применяется и для вычисления полных производных функций многих переменных.
Dt[f[Sin[x y z]], x] Cos[xyz](yz + xzDt[y, x] + xyDt[z, x]) f[Sin[xyz]]Здесь Dt [y,x] и Dt [z,x] – полные производные переменных у и г по переменной х. Но следующий результат можно назвать правильным лишь формально.
D[Abs[x], x] /. x > 1Abs'[1]Тут система Mathematica села в калошу. Она знает, что функция [x] – недифференцируемая в точке х = 0, но фактически отказывается вычислять ее производную даже в тех точках, где она дифференцируема. Так спокойнее?!