Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Списки и линейная алгебра. Векторы.

В линейной алгебре часто рассматриваются объекты, сконструированные из других объектов. Вектор, например, часто представляется в виде списка чисел (являющихся его координатами в некотором базисе). Матрицы – это прямоугольные таблицы, в каждой клетке которых находится элемент некоторого кольца. Тензоры же являются просто многомерными таблицами. Как же такие составные объекты представляются в системе Mathematica? Оказывается, что для конструирования составных объектов произвольной сложности в системе Mathematica используются списки. Именно их мы и рассмотрим сейчас.

Списки

Список – это заключенная в фигурные скобки произвольная последовательность объектов, в которой объекты отделяются друг от друга запятыми. Именно списки используются для конструирования составных объектов. Иными словами, все составные объекты являются списками, причем конструкция объекта отражается в конструкции списка. Самый простой список – линейный. Строка (или столбец) представляется в виде линейного списка. Матрица, являющаяся списком строк (или столбцов), представляется в виде линейного списка линейных списков. Конечно же, с помощью списков можно строить и более сложно устроенные объекты, такие как деревья или различные разновидности графов.

Векторы

Из всего многообразия составных объектов линейной алгебры проще всего устроены векторы. Поэтому не удивительно, что именно они представляются самым простым видом списков – линейными списками. Фактически вектор представляется как список своих координат. Вот как, например, представляется стандартный базис в R³: e1 = {1, 0, 0}; е2 = {0, 1, 0}; е3 = {0, 0, 1}. А вот так представляется вектор u = {а,b,с} с координатами u = {а,b,с}: u = {а,b,с}. Давайте разложим этот вектор по стандартному базису и посмотрим, что получится.

Как видите, мы записали разложение вектора u = (а,b,с) по стандартному базису и, выполнив сложение трех векторов (проекций вектора u = {а,b,с) на оси координат), получили вектор v = {a,b,c}. (Как и следовало ожидать, вектор v = u.) Как видим, операции над векторами обозначаются естественным образом. Давайте теперь вычислим скалярное произведение векторов v и u.

Естественно, это скалярный квадрат вектора u. Теперь давайте вычислим скалярное произведение вектора u и единичного орта е3.

Как и следовало ожидать, оно равно соответствующей координате вектора u.