Иллюстрированный самоучитель по цифровой графике

Кривая Безье – формулы и принципы построения

В общем случае кривая Безье – это частный случай В-сплайнов (NURBS-кривых), которые можно определить как взвешенная сумма n + 1 контрольных точек, где весовыми коэффициентами являются полиномы Бернштейна. Рассмотрим определения первых трех степеней кривой Безье.

Линейная кривая, кривая первой степени (прямая), определяется следующей параметрической формулой:

P(t) = (1 – t) P₀ + t P₁

Это выражение представляет собой линейную интерполяцию между двумя точками (рис. 12.17).

Рис. 12.17. Кривая первой степени (прямая)

Квадратичная кривая, кривая второй степени, определяется формулой:

P(t) = (1 – t)² P₀ + 2 (1 – t) t P₁ + t² P₂

Это выражение представляет собой линейную интерполяцию между линейными интерполяциями между точками (рис. 12.18):

Рис. 12.18. Кривая второй степени (квадратическая кривая)

Кубическая кривая, кривая третьей степени, определяется формулой:

P(t) = (1 – t)³ Р₀ + 3 (1 – t)² t P₁ + 3 (1 – t) t² P₂ + t³ Р₃

Это выражение представляет собой линейную интерполяцию между линейными интерполяциями между линейными интерполяциями между точками (рис. 12.19).

Рис. 12.19. Кривая третьей степени (кубическая кривая)