Задачи динамики. Определение траектории движения частицы в однородном стационарном электрическом поле.
При решении задач динамики, как правило, приходится интегрировать уравнения движения материальной точки или системы тел. Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка, и для их решения широко используются методы, рассмотренные в главе 5.
Ниже приведены некоторые примеры.
Задача 6.1
Частица, имеющая массу m и заряд е, влетает в однородное стационарное электрическое поле Е со скоростью v, перпендикулярной направлению поля. Определить траекторию движения частицы.
Для решения этой задачи следует в первую очередь записать уравнение Ньютона (второй закон). Уравнение, как известно, записывается для вектора, поэтому в действительности это система трех уравнений – для каждой из координатных осей свое уравнение.
Систему координат следует задать оптимальным (наиболее удобным) образом. Поскольку в условии сказано, что векторы электрического поля и начальной скорости частицы перпендикулярны, можем выбрать систему координат так, чтобы ось X совпадала с направлением поля, ось У – с направлением начальной скорости, и, соответственно, ось Z будет перпендикулярной плоскости, в которой размещены вектор поля и начальной скорости. Начало отсчета выберем таким образом, чтобы в момент времени t=0 частица находилась в начале координат.
Теперь записываем уравнения движения. Сначала описываем движение вдоль оси X. Это единственное направление, вдоль которого на систему действует сила, равная произведению напряженности поля на величину заряда частицы.
Вдоль остальных двух осей силы не действуют (силы гравитации не учитываем).
Чтобы однозначно решить систему из приведенных выше трех уравнений, необходимо задать начальные условия. Поскольку уравнения имеют второй порядок (порядок старшей производной), по каждой из координат необходимо задать два условия – начальное положение (соответствующая координата частицы) и проекция начальной скорости на координатную ось.
Начальное значение координат частицы для каждой из осей равно нулю выбрали начало системы координат!). Что касается проекций вектора Начальной скорости, то отличной от нуля будет только проекция на ось Y. Причем значение этой проекции равно модулю начальной скорости, т.е .v.
Удобства ради, начальные условия разобьем на три группы – в соответствии с числом координатных осей.