Иллюстрированный самоучитель по Maple 9

Дифференциальные уравнения

• Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

  Сразу следует отметить, что с обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами этих уравнений Maple справляется достаточно неплохо. Если уравнение в принципе решается, то Maple, скорее всего, его решит.

• Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Метод разложения по малому параметру.

  Среди приближенных методов решения дифференциальных уравнений достаточно распространенным является метод разложения по малому параметру. Идея, положенная в основу метода, проста: в уравнении (или системе) выделяется малый параметр, а решение ищется в виде ряда по этому параметру.

• Метод основанный на разложении искомой функции в ряд по аргументу

  Еще один распространенный метод поиска приближенных решений дифференциальных уравнений основан на разложении искомой функции в ряд по аргументу в окрестности точки, в которой заданы начальные условия.

• Уравнения в частных производных. Задача о колебаниях бесконечной струны.

  Поиск решений уравнений в частных производных требует определенной изобретательности. Рассмотрим задачи для линейных уравнений в частных производных второго порядка, которые еще называют уравнениями математической физики.

• Задача для полубесконечной струны

  Практически так же решается задача и для полубесконечной струны – условие задачи такое же, но только в этом случае 0 < х < +∞. Кроме того, следует задать значение функции u(0,t) на левой границе. Если левый конец струны закреплен, то это значит, что u(0,t)=0. | Именно такую ситуацию и рассмотрим.

• Задача о колебаниях струны конечной длины

  Рассмотренный выше подход называется методом распространяющихся волн или методом Даламбера. Данный метод приемлем, в основном, при решении задач для бесконечных и полубесконечных областей. Ситуация несколько усложняется, если рассматривать струну конечной длины. Об этом следующая задача.

• Заключительные замечания. Контрольные вопросы.

  Главной задачей этой главы было сформировать у читателя представление о возможностях Maple в области решения дифференциальных уравнений. Эта тема достаточно сложна, особенно в той ее части, что касается уравнений математической физики. И именно здесь использование Maple является весьма эффективным.