Дифференциальные уравнения
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Сразу следует отметить, что с обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами этих уравнений Maple справляется достаточно неплохо. Если уравнение в принципе решается, то Maple, скорее всего, его решит.Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Метод разложения по малому параметру.
Среди приближенных методов решения дифференциальных уравнений достаточно распространенным является метод разложения по малому параметру. Идея, положенная в основу метода, проста: в уравнении (или системе) выделяется малый параметр, а решение ищется в виде ряда по этому параметру.Метод основанный на разложении искомой функции в ряд по аргументу
Еще один распространенный метод поиска приближенных решений дифференциальных уравнений основан на разложении искомой функции в ряд по аргументу в окрестности точки, в которой заданы начальные условия.Уравнения в частных производных. Задача о колебаниях бесконечной струны.
Поиск решений уравнений в частных производных требует определенной изобретательности. Рассмотрим задачи для линейных уравнений в частных производных второго порядка, которые еще называют уравнениями математической физики.Задача для полубесконечной струны
Практически так же решается задача и для полубесконечной струны – условие задачи такое же, но только в этом случае 0 < х < +∞. Кроме того, следует задать значение функции u(0,t) на левой границе. Если левый конец струны закреплен, то это значит, что u(0,t)=0. | Именно такую ситуацию и рассмотрим.Задача о колебаниях струны конечной длины
Рассмотренный выше подход называется методом распространяющихся волн или методом Даламбера. Данный метод приемлем, в основном, при решении задач для бесконечных и полубесконечных областей. Ситуация несколько усложняется, если рассматривать струну конечной длины. Об этом следующая задача.Заключительные замечания. Контрольные вопросы.
Главной задачей этой главы было сформировать у читателя представление о возможностях Maple в области решения дифференциальных уравнений. Эта тема достаточно сложна, особенно в той ее части, что касается уравнений математической физики. И именно здесь использование Maple является весьма эффективным.