Иллюстрированный самоучитель по Maple 9

Задача о колебаниях струны конечной длины

Рассмотренный выше подход называется методом распространяющихся волн или методом Даламбера. Данный метод приемлем, в основном, при решении задач для бесконечных и полубесконечных областей. Ситуация несколько усложняется, если рассматривать струну конечной длины. Об этом следующая задача.

Задача 5.11

Требуется решить задачу о колебаниях конечной струны.

Уравнение не изменилось, однако здесь иная область, а также иные начальные и граничные условия. Нулевые граничные условия соответствуют ситуации, когда концы струны закреплены. Начальный профиль струны имеет вид выгнутой параболы.

Определим уравнение.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Дифференциальные уравнения › Задача о колебаниях струны конечной длины

Решение будем искать методом разделения переменных. Этот метод подразумевает, что поиск решения осуществляется в виде произведения нескольких (в данном случае двух – по количеству переменных) функций, каждая из которых зависит от одного аргумента. В этом случае при вызове процедуры pdsolve() следует использовать опцию HINT, указав ее значение равным X(x)*T(t); именно в таком виде будем искать функцию u(x,t)=X(x)*T(t) (X(x) и T(t) являются неизвестными функциями одной переменной).

Таким образом, имеем следующее.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Дифференциальные уравнения › Задача о колебаниях струны конечной длины

В полученном в результате выполнения команды выражении сначала указано, в каком виде искалась функция u(x,t), а затем в квадратных скобках после ключевого слова where (в переводе значит где) перечислены условия (уравнения), которым должны удовлетворять функции Х(х) и T(t).

Задаем уравнение для функции Х(х), заменив в нем для удобства переменную среды.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Дифференциальные уравнения › Задача о колебаниях струны конечной длины

На заметку
Стоит обратить внимание на способ, которым с помощью оператора формирования последовательности ($) задана вторая производная. Здесь использована та особенность, что результатом выполнения команды '$' (х,2) является последовательность х,х
.

Решаем это уравнение относительно Х(х), приняв во внимание одно из начальных условий, а именно: поскольку u(0,t)=X(0)T(t)=0, то Х(0)=0.

Получаем следующее.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Дифференциальные уравнения › Задача о колебаниях струны конечной длины

Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.