Уравнения в частных производных. Задача о колебаниях бесконечной струны.
Поиск решений уравнений в частных производных требует определенной изобретательности. Рассмотрим задачи для линейных уравнений в частных производных второго порядка, которые еще называют уравнениями математической физики.
Способ решения уравнений в частных производных во многом определяется областью, для которой задана задача, а также граничными и начальными условиями. Для начала рассмотрим задачу о колебаниях бесконечной струны.
Задача 5.10
Найти решение уравнения u(х,0)=0, <x<+,t › 0. (нижний индекс означает производную), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0)=0, <x<+,t › 0.
Рассматриваемое уравнение является уравнением гиперболического типа. Подобные задачи возникают при описании процесса распространения волн, например, по бесконечной струне. Функция u(x,t) определяет отклонение точки струны с координатой х в момент времени t. Соответствующее волновое уравнение (а – параметр задачи) имеет следующий вид.
Для решения этого уравнения воспользуемся процедурой pdsolve() и получим следующее.
В данном случае функции _F1 () и _F2 () являются произвольными дважды дифференцируемыми функциями. Таким образом, общее решение уравнения iBqn представляется в виде суперпозиции двух функций с соответствующими аргументами. Следовательно, чтобы полностью решить задачу, необходимо определить вид этих функций. Функции определяются из начальных условий. Но прежде задаем u () как функцию двух параметров х и t.
Далее воспользуемся тем, что производная по времени от функции u(x,t) начальный момент равна нулю.
На заметку
Производная по второму аргументу функции u(x,t) вычисляется посредством оператора дифференцирования с указанием в квадратных скобках индекса переменной, по которой вычисляется производная: D(2](u).
Полученное таким образом дифференциальное уравнение решаем относительно функции _F1(x).
Видим, что функции _F1 и _F2 с точностью до знака аргумента и константы С1 совпадают.