Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Метод разложения по малому параметру.
Среди приближенных методов решения дифференциальных уравнений достаточно распространенным является метод разложения по малому параметру. Идея, положенная в основу метода, проста: в уравнении (или системе) выделяется малый параметр, а решение ищется в виде ряда по этому параметру.
На заметку
К сожалению, далеко не в каждом уравнении такой малый параметр можно выделить.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача 5.7
Найти приближенное решение в виде многочлена второго порядка по малому параметру для задачи Коши: y' = εx-y^2.
Задаем исходное уравнение.
Поскольку это уравнение первого порядка, начальное условие только одно.
Строго говоря, данное уравнение вычислительным ядром Maple решается точно. Ниже приведена соответствующая команда, однако, без указания результата. Причина проста – результат этот весьма нетривиален. Желающие могут убедиться в этом самостоятельно.
Последнее, кстати, является свидетельством того, что точный результат искать не всегда полезно; зачастую достаточно ограничиться приближенным решением – оно может оказаться вполне приемлемым по точности и в то же время простым и наглядным.
Решение ищем в виде ряда по малому параметру – в данном случае это е. Поэтому у(х) представляем в следующем виде.
Внимание!
Представленная выше команда, с помощью которой функции у(х) присваивается значение, на самом деле функцию не определяет. Если в командной строке ввести команду у(х), в области вывода появится у0(х) + еу1(х) + еу2(х). Но если команду заменить, скажем, на y(t), результат будет y(t). Другими словами, присваивание выполняется "на уровне названий", а у(х) в данном случае является не результатом действия оператора у() на переменную х, а названием переменной.
Уравнение, таким образом, будет иметь следующий вид.
