Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Сразу следует отметить, что с обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами этих уравнений Maple справляется достаточно неплохо. Если уравнение в принципе решается, то Maple, скорее всего, его решит. Полезной в этом случае будет процедура dsolve(), параметрами которой указываются уравнение (система уравнений), начальные условия (если такие имеются), а также функция (или набор функций для системы уравнений), относительно которой это уравнение (систему) следует решать.
Рассмотрим пример.
Задача 5.1
Составить дифференциальное уравнение, описывающее падение парашютиста, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату его скорости.
В первую очередь определяем уравнение, присвоив его в качестве значения переменной Eq (запись D@@2 означает, что оператор D действует дважды).
На заметку
Уравнение есть прямым следствием второго закона Ньютона. Если координатную ось выбрать так, чтобы она была направлена вниз, т.е. в направлении к поверхности Земли, а начало отсчета совместить сточкой начала движения парашютиста, то зависимость координаты парашютиста от времени будет тем самым определять расстояние, которое парашютист пролетел. Ускорение равно, как известно, второй производной от координаты по времени. Кроме того, на парашютиста действуют две силы: сила тяжести, равная произведению массы парашютиста на ускорение свободного падения (д) – она направлена вниз, ее направление совпадает с направлением координатной оси и поэтому проекция данной силы на координатную ось положительна, и сила сопротивления воздуха – направлена вверх и поэтому ее проекция отрицательна. После сокращения формулы на массу парашютиста из второго закона Ньютона получаем нужное уравнение (а – коэффициент пропорциональности в выражении для силы сопротивления воздуха, нормированный на массу парашютиста).
Предполагаем, что парашютист начинает движение без начальной скорости и в начальный момент координата парашютиста равна нулю. Начальные условия записываем в виде последовательности равенств в переменную In_Con.
После этого уравнение можно решать.
Первым аргументом процедуры dsolve() указано множество, состоящее, из уравнения и начальных условий. Уравнение решается относительно функции x(t).
На заметку
Задачу поиска решения уравнения (системы уравнений), удовлетворяющего данным начальным условиям, называют задачей Коши.
Полученное решение, тем не менее, является достаточно громоздким. Его можно несколько упростить.
