Системы с колебаниями. Нахождение частоты малых колебаний маятника.
Часто приходится рассматривать механические системы, которые, будучи выведены из состояния равновесия, возвращаются к нему. Если при этом силы, возвращающие систему в состояние равновесия, прямо пропорциональны "смещению" ее элементов относительно положения равновесия, то в таких системах имеют место гармонические колебания, которые при наличии диссипативных сил являются затухающими. Рассмотрим примеры.
Задача 6.4
Маятник состоит из жесткого стержня длины L и массы m на конце. К стержню прикреплены две пружины с жесткостью к на расстоянии а от точки подвеса. Найти частоты малых колебаний маятника. Массой стержня пренебречь.
В первую очередь создадим графическую иллюстрацию для данной задачи. Поскольку Maple является командной средой, то и рисунок следует создавать с помощью команд – этим Maple отличается от графических редакторов, где рисунки создаются путем непосредственного рисования.
Для начала опишем процедуру wall (), с помощью которой затем отобразим верхние и боковые стенки. Стенку представим в виде прямой линии со штрихами с внутренней стороны.
Параметры процедуры таковы: а) левая крайняя точка Р, с помощью которой будет осуществляться "привязка" отображаемой стенки к рисунку; б) длина стенки L; в) угол phi поворота стенки относительно базовой точки Р.
Далее в процедуре объявляются локальные переменные S, N, i и Res. Переменная N определяет число штрихов (в данном случае – 50). Переменная S является массивом размерности N+1, а нумерация его элементов начинается с 0. Сами элементы массива S – это графические объекты линия. Нулевым элементом S[0] является основная линия, определяющая стенку. Линия эта создается процедурой line() из пакета plottools. Как известно, аргументами этой процедуры указываются начальная и конечная точки, которые соединяет прямая. Начальной является точка Р.
Поскольку в первоначальном варианте прямая отображается горизонтально, по вертикальной оси координата конечной точки, по сравнению с начальной, измениться не должна, а вот горизонтальная координата должна увеличиться на длину линии, т.е. на L. Задается конечная точка следующим образом. Любая точка в Maple является списком из двух элементов: первый элемент – это горизонтальная координата, второй – вертикальная. Поэтому горизонтальная координата начальной точки определяется командой ор(Р)[1], вертикальная – командой ор(Р)[2]. Соответственно, конечная точка – это список [op(P)[l]+L,op(P)[2]].
После этого выполняется заполнение прочих элементов массива S. Эти элементы определяют "штрихи" – набор равноудаленных линий, направленных вовнутрь стенки под углом 45 градусов к основной линии. Если число таких штрихов N, а длина стенки L, то горизонтальная координата начальной точки каждого "штриха", по сравнению с предыдущим, увеличивается на величину L/N и равна горизонтальной координате конечной точки следующего штриха. Вертикальная координата начальной точки штриха совпадает с координатой основной линии (первоначально она размещается по горизонтали), а вертикальная координата конечной точки, по сравнению с начальной точкой, больше на L/N. В соответствии с вышесказанным и формируются штрихи.
