Некоторые примеры
Автоколебания
Рассмотрим решение уравнения Ван дер Поля, описывающего электрические колебания в замкнутом контуре, состоящем из соединенных последовательно конденсатора, индуктивности, нелинейного сопротивления и элементов, обеспечивающих подкачку энергии извне (листинг 11.8). Неизвестная функция времени y(t) имеет смысл электрического тока, а в параметре ц заложены количественные соотношения между составляющими электрической цепи, в том числе и нелинейной компонентой сопротивления.
Листинг 11.8. Модель Ван дер Поля (м=1):
Решением уравнения Ван дер Поля являются колебания, вид которых для ц=1 показан на рис. 11.10. Они называются автоколебаниями и принципиально отличаются от рассмотренных нами ранее (например, колебаний маятника в разд. 11.3.2) тем, что их характеристики (амплитуда, частота, спектр) не зависят от начальных условий, а определяются исключительно свойствами самой динамической системы. Через некоторое время расчетов после выхода из начальной точки решение выходит на один и тот же цикл колебаний, называемый предельным циклом.
Рис. 11.10. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) уравнения Ван дер Поля (листинг 11.8)
Аттрактор типа предельного цикла является замкнутой кривой на фазовой плоскости. К нему асимптотически притягиваются все окрестные траектории, выходящие из различных начальных точек, как изнутри (рис. 11.10), так и снаружи (рис. 11.11) предельного цикла.
Рис. 11.11. Решение уравнения Ван дер Поля при других начальных условиях у=-2, у =-3
Если компьютер у Вас не самый мощный, то расчет фазового портрета с рис. 11.10-11.11 в Mathcad может занять относительно продолжительное время, что связано с численным определением сначала решения y(t), а потом его производной. Время расчетов можно было бы существенно сократить, если использовать вместо вычислительного блока Given/Odesolve одну из встроенных функций, которые выдают решение в виде матрицы, например rkfixed.